斐波那契數列在三對角行列式計算中的應用

劉玲 方春霞 胡佳寧 繆夢楠

【摘要】本文主要研究如何利用（廣義）斐波那契數列的通項公式來計算三對角行列式.

【關鍵詞】斐波那契數列;三對角行列式;計算

一、引 言

斐波那契在《算盤書》中提出了一個有趣的兔子問題：一般而言，兔子在出生兩個月后，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來.如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少對兔子？

分析 第一個月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一對;兩個月后，生下一對小兔，總數是兩對;三個月以后老兔子又生下一對，因為小兔子還沒有繁殖能力，所以一共是三對.由此下去，數字1，1，2，3，5，8——構成了一個序列.這個數列有十分明顯的特點：前面相鄰兩項之和構成了后一項，即fn=fn-1+fn-2，這個數列就是著名的斐波那契（fibonacci）數列.

斐波那契數列在各領域應用廣泛，特別地，它在行列式計算中有其獨特的魅力，如，某些三對角行列式的遞推關系滿足斐波那契數列的通項公式fn=fn-1+fn-2及其推廣形式，因此，我們利用斐波那契數列的通項公式來計算滿足這個條件的行列式，以達到簡化行列式運算的目的.

二、（廣義）斐波那契數列的定義與性質

（一）斐波那契數列的定義與性質

（二）廣義斐波那契數列的定義與性質

三、斐波那契數列在行列式計算中的應用

在三對角行列式的計算中，利用降階展開定理得到行列式的遞推關系式，這個遞推關系式經常滿足（廣義）斐波那契數列的條件，所以利用斐波那契數列的通項公式來計算三對角行列式也是一種計算方法.

（一）斐波那契數列在三對角行列式中的應用

【參考文獻】

[1]吳振奎.斐波那契數列[M].沈陽：遼寧教育出版社，1987.

[2]奚傳志.矩陣特征值與特征向量在遞推關系上的應用[J].棗莊師專學報，1991（2）：26-30.