從經驗到模型：為數學理解的深刻而建構

黃蓉潔 繆宏敏

【摘要】數學教學的核心任務是“思維”。思維的過程也是個體對客觀現實建立理解、深化理解、表達理解的過程。實踐中，應立足知識的本源和發展，關注學生的基礎與經驗，讓學生在豐富的生活現實中分析、綜合、比較、抽象和概括數學現實，從而獲得對數學本質的深層次感悟和理解。

【關鍵詞】數學理解? ?生活經驗? ?數學思想? ?數學模型

一、探索：“數學教育”的本色追求

隨著課改的不斷深入，核心素養開始倍受教育工作者的關注。在一場場百家爭鳴的學術探討中，一線教師很容易被諸多大咖的新觀點、新理論弄得眼花繚亂，甚至迷失了方向。那么，數學教育的核心任務到底是什么？

課標指出：數學是研究數量關系和空間形式的科學。作為促進學生全面發展的重要組成部分，數學教育既要使學生掌握現代生活和學習中所需要的數學知識與技能，更要發揮數學在培養人的思維能力和創新能力方面不可替代的作用。筆者認為：信息化時代的到來，數學知識與技能獲得的途徑將多元化，當下以及未來數學教育的核心應該是“思維”。忐忑間，偶然發現史寧中教授講過這樣一句話：中小學數學教育的終極目標就在于會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界。其中，“數學的眼光”側重于數學抽象與直觀想象，“數學的思維”偏向于邏輯推理與數學運算，“數學的語言”指向于數學模型與數據分析。他的觀點，更堅定了我們“為思維而教”的價值判斷。

思維是人腦對客觀現實間接的、概括的反映（客觀事物的本質屬性和規律性的聯系），是認識的高級形式。思維過程就是運用多種形式對外界信息不斷進行分析、綜合、比較、抽象和概括的過程。結合皮亞杰、杜威對“理解本質”的界定，我們提出：思維的過程也是個體對客觀現實建立理解、深化理解、表達理解的過程。數學理解，不僅是對數學知識內容、方法技巧、思想策略的感悟，還有從數學的角度去發現、思考、表達現實問題。數學教育，應為數學理解的深刻而設計、展開。

二、實踐：“理解深刻”的優選策略

函數是“數與代數”的重要內容，也是義務教育階段學生比較難理解和掌握的數學概念之一，《反比例的意義》就是其中的典型代表（蘇教版數學第十二冊第六單元）。從“生活經驗”到“數學模型”的生長，它直觀反映了數學理解從模糊到清晰、從表象到屬性、從具體到抽象的發展過程。下面，筆者以該內容的教學設計為例，談談促進學生數學理解的一般策略。

（一）距離丈量：在反復追問中明晰目標

1.學情分析：學生在哪里

（1）已經掌握了一些常見的數量關系;（2）已經獲得了“正比例意義與圖像”的學習經驗;（3）已經具備了初步的邏輯推理能力和分析問題的方法，有一定的獨立探究意識和合作交流能力。

2.內容審視：價值在何處

模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。反比例是一種特定且重要的數學模型，是對以前學過的數學問題（如總量不變的問題、等積變形問題）和數學規律（如積的變化規律）的一般化與模型化。其基本樣式為：xy=k（一定），其中，x與y一個是自變量一個是應變量，k是定量。

（1）從單元編排看知識，有助于學生認知結構的逐步完善。單元教材的編排序列為“正比例意義—正比例圖像—反比例意義（圖像）”。如此，既分解了單元目標達成的難度，積累同類題材的學習經驗，也能引發學生積極的數學思考。

（2）從思維發展看經歷，有助于學生高階思維的逐步提升。布魯姆目標分類學中，記憶、理解、應用是低階思維，分析、評價、創造是高階思維。各地方教材對“反比例意義”的教學建議，基本都遵循“問題情境—建立模型—解釋、應用、拓展”的模式，大多都運用分類、歸納、抽象、數形結合等數學思想方法。這些思想方法，就是高階思維的學科表達。

（3）從函數思想看模型，有助于學生后續學習的逐步展開。建模期間，學生能在鮮活的情景中充分感悟“變量與常量、自變量與應變量”等函數思想，多次體驗“列表法、解析法、圖像法”這三種函數的表示方法，為后續的深入學習做了很好的鋪墊。

3.目標設定：要到哪里去

基于以上思考，結合課程標準的相關理念，我們這樣設定本課教學目標：（1）在具體的情境中，理解反比例的意義，會判斷兩種量是否成反比例。（2）經歷觀察、比較、歸納、抽象模型的探究過程，提高概括和推理能力。（3）在自主探索與合作交流中獲得積極的情感體驗，會用數學的眼光觀察并解釋生活中的現象。

（二）路徑選擇：在認知沖突中自主建構

目標既定，如何達成？建構主義告訴我們，學習是認知沖突不斷生成、化解、再生成的過程。認知沖突，即已有的知識和經驗與新知識之間存在某種差距而導致的心理失衡。在課堂教學中設置認知沖突，可以喚起學生學習的內在需要，使他們在近乎真實的學習背景或解決實際問題的過程中，感受到矛盾，感悟到聯系，理解到深刻。基于學生最近發展區梳理并創設障礙是形成認知沖突的一般方式。就本課而言，我們預設的障礙有：（1）“成反比例關系”的對象是誰？（2）怎樣才算成“反比例關系”？（3）正比例和反比例關系有什么關聯？（4）反比例圖像為什么是一條曲線？（5）學了反比例有什么用？清除障礙的學習方式主要有分析、綜合、比較、抽象、概括等。

（三）過程體驗：在問題解決中深刻理解

問題是認知沖突的直觀體現，問題解決也是數學課程的四大目標內容之一。在真實的情境中，發現問題、在豐富的表征中分析問題、在自我的挑戰中解決問題，有助于學生數學理解的深刻。

1.喚醒與啟發：在生活情境中猜想數學現實

（1）還原：這是江陰徐霞客公園游玩的一些數據，總價和數量成什么關系？為什么？

（2）推廣：生活中相關聯的兩個變量有很多，除了正比例關系，還有沒有其他關系了？是什么？

（3）猜想：你覺得怎樣算反比例關系呢？（大多數學生的猜想是變化方向相反的兩個變量）

2.比較與聯想：在屬性鑒別中感知模型表象

（1）比較1：你有什么發現？

表1 面積為18平方厘米的長方形

表2 周長為18厘米的長方形

通過填表與觀察，學生發現兩張表中兩個變量的變化方向都是相反的。此時，內心的困惑：它們是否就是成反比例呢？

（2）比較2：兩張表中長和寬的變化規律一樣嗎？通過小組討論，學生發現，盡管兩組變量的變化方向一樣，但變化規律有所不同。表1的長與寬在變化過程中保持積不變，表2的長與寬在變化過程中保持和不變。

（3）聯想：你覺得哪張表的長與寬成反比例關系？為什么？此時，許多學生應用以往經驗展開聯想。

生1：我覺得表1中的長和寬成反比例，因為反比例應該也是比例的一種，而比例都是研究乘除關系的。

生2：正比例是專指兩個變量在變化過程中商一定的關系，不包括差一定的關系，所以我覺得可能是表1中的長與寬。

直覺性思維是所有發明的基礎。學生在有理有據的聯想中，對反比例的本源、屬性產生了新的認識。

3.感悟與辨析：在正面引導中建立模型表征

（1）觀察：單價和數量的變化規律是怎樣的？

用60元購買筆記本，購買筆記本的單價、數量如下表：

通過交流，學生再次發現單價和數量是兩個相關聯的變量，變化方向也是相反的，在變化過程中單價和數量的積不變，這就是反比例的生活原型。

（2）概括：你能借助數量關系式表示三者之間的關系嗎？[單價×數量=總價（一定）]

（3）定義：像這樣，單價和數量是兩種相關聯的量，單價變化，數量也隨著變化，如果單價和數量的積一定，我們就說單價和數量成反比例關系，單價和數量是成反比例的量。

4.抽象與建模：在比較歸納中抽象模型樣態

（1）內化：表1和表2中，長和寬成反比例嗎？為什么？

（2）遷移：長和寬在變化過程中必須滿足怎樣的條件才成反比例？

（3）概括：你會用一個式子表示這種關系嗎？[長×寬=面積（一定）]

（4）抽象：請大家觀察上述兩個關系式，再想一想成正比例的關系式，反比例關系可以用哪一個式子來表示？[x×y=k（一定）]

（5）比較：正比例關系和反比例關系有什么關聯？

5.應用與串聯：在推廣遷移中明晰知識本質

（1）聯系：生活中還有哪些數量也存在反比例關系？

（2）辨析：你能運用今天所學的知識判斷下面兩個變量的關系嗎？（略）

（3）綜合：請大家看黑板上的兩種關系，同樣是單價、數量、總價，為什么有時候成正比例關系，有時候成反比例關系呢？（由定量決定）

（4）練習：給你三個量，你能說說它們之間的關系嗎？

6.圖像與表征：在直觀對比中深化函數思想

（1）猜想：正比例關系可以用通過原點的一條射線來表示，你覺得反比例關系的圖像是怎樣的？

（2）驗證：以剛才的單價、數量和總價為例，我們分別來畫一畫好嗎？

（3）分析：除了兩個變量，你能看到不變量嗎？（圖例呈現長方形面積）

（4）推理：正比例圖像會與軸產生交叉，反比例圖像會不會？為什么？

7.總結與反思

本課的設計，勾勒了數學理解走向深刻的一般樣態：一是注重引發真實問題。讓生活中的情境引發數學思考，讓數學思考解決生活中的具體問題。二是注重運用合情推理。從一般到特殊，從表象到屬性，從具體到抽象，學生在不同屬性的數學現實中比較、分析、歸納，逐步獲得對反比例意義的深刻理解。三是注重自主建構。在反比例模型建構過程中，學生經歷了猜想、驗證、推理、應用、反思等學習活動。這樣的體驗，均建立在學生內心最糾結與較混沌處，沖突化解的過程就是理解升華的過程。

值得一提的是，在課后交流中，學生提出了一個很有意思的問題：比例和反比例有關系嗎？事后與多名同事探討，持“沒有關系”觀點的居然占了多數，理由也很充分：意義不同，表征也不同。筆者以為，正反比例都是比例的一種特殊表達方式。如：筆者雖然沒有明確指出兩者之間的關聯，但學生卻能在辨析中領悟到正反比例都是在研究“有關乘除的變化關系”，其表征是一致的。反之，如果沒有關系，教材為何要設計“比、比例、正反比例”的學習序列呢？古人又為什么要起名“反比例”呢？是否存在一種可能：在路程一定的情況下，速度和時間成反比例，繼而可以推廣為速度1∶速度2=時間2∶時間1，反一反就能組成比例了？