在分類活動中體驗概念的本質特征

高飛

《義務教育數學課程標準（2011年）》指出：“教學活動中，要使學生逐步體會為什么要分類，如何分類，如何確定分類的標準。在分類的過程中，如何認識對象的性質，如何區分不同對象的不同性質。”由此可見，分類不僅是一種重要的數學思想和思維活動經驗，而且是學生理解及掌握數學知識的重要方式。小學階段，幾乎所有數學概念都能在生活中找到它們的原型。舉目四望，生活中隨處可見“平行”和“相交（垂直）”的現象。課始，引導學生畫兩條直線，一方面能夠激活學生已有的關于兩條直線位置關系的“前概念”，為新知識學習做好準備，另一方面，為認識“平行”和“垂直”積累外部思維材料，激發學生探究學習的興趣。教學中，引導學生圍繞幾組直線展開三次分類活動，從而促使學生理解平行和垂直概念的本質特征，實現生活經驗“數學化”。

一、經歷第一次分類活動，消除生活經驗的干擾

數學教學中，引導學生自主確定分類標準，對數學學習素材進行比較及分類活動，可以暴露學生已有知識和經驗對概念學習的干擾，這些認知上的錯誤往往就是教學難點。通過組織學生對認知錯誤進行辨析和交流，能夠及時消除“負遷移”的影響，提高學生概念“首次感知”的效果。為此，可以在學生自主畫出四組直線的基礎上，組織學生分類。

師：這四組直線可以分成幾類？怎樣分？為什么這樣分？

生1：根據兩條直線是否相交，可以分成兩類：

師：兩種分類方法的不同點是什么？

師：到底相交不相交？我們可以——

生：延長看看！

師生共同延長后發現可以相交。

學生在作業紙上延長兩條直線，發現不相交。

師：在同一個平面內不相交的兩條直線叫平行線，也可以叫互相平行。

直線是抽象思維的產物，是一種主觀性存在。在生活中，人們能見到的線都是線段，所以像■這樣的位置關系，學生往往認為是不相交的，形成生活經驗對平行概念認識的負遷移。這也是認識平行概念的教學難點。而出現這種負遷移是由于學生對直線本質屬性認識上的“缺陷”造成的。因此，讓學生重新體驗及感受直線的無限性特征，是突破平行概念認知難點的舉措之一。案例中，首先引導學生對同一平面內四組直線的位置關系自主分類，充分暴露學生認識平行時可能出現的問題。其次，結合直線的特性，通過操作（延長）和交流等活動，引導學生發現“不相交”的兩條直線是可以相交的事實，從而突破了平行概念認知的障礙，鋪平了概念學習的道路。

二、經歷第二次分類活動，認識概念的本質特征

分類活動的關鍵是確定分類依據或者標準。學生經歷確立分類標準的思考過程，就是深入感知、體驗、歸納和概括概念的本質屬性的思維過程。為此，在垂直教學中，讓學生經歷對幾組相交直線進行分類的活動，就是對幾組直線位置關系進行觀察和比較、分析和綜合、歸納和概括的認知過程。學生經歷此過程，就可以體會和感悟互相垂直概念的本質特征，從而理解并建構數學概念。

出示：

師：比一比，余下三組直線有什么相同點？

生：每組直線相交于一點。

生：三組直線相交后分別組成四個角。

師：量一量，三組直線相交成的角分別是多少度？

學生測量之后交流。

師：相交成的角有什么不同點？

生：相交成的角有的是銳角和鈍角，有的是直角。

師：假如把三組直線劃分為兩類，你認為可以怎樣分？為什么這樣分？

師：為什么這樣分？

生：根據相交成的角是不是直角劃分的。

師指出：兩條直線相交成直角，就說這兩條直線是互相垂直。其中一條直線叫做另一條直線的垂線，這兩條直線的交點叫做垂足。（板書）

烏申斯基指出：“比較是我們理解和思維的基礎，我們正是通過比較來認識世界的一切的。”案例中，通過觀察、比較、測量等活動，讓學生從操作和結果兩個方面，體驗和辨別每組直線相交所成“角”的不同之處，為接下來的分類活動奠定認知基礎。在此基礎上，讓學生結合每組直線相交所成的角的特點，確定分類標準，把三組直線劃分成兩類。學生經歷此分類過程，不僅是深入比較和分析、討論和交流三組直線的位置關系，深刻感受相互垂直的本質特征的思維過程，更是體悟分類思想方法，積累分類活動經驗的重要時機。

三、經歷第三次分類活動，系統掌握概念的結構

如果說，前兩次分類活動是促進學生理解“平行”和“相互垂直”的概念，那么，第三次分類活動就是在此基礎上，引導學生從更高層次上抽象和概括同一個平面內兩條直線的位置關系的特征，促成學生數學知識“結構化”“系統化”，深化學生對“相互平行”和“相互垂直”的概念認識，發展數學思維能力，提升學生學科素養。

出示：下面各組直線，哪一組互相平行？哪一組互相垂直？

在學生判斷并說理的基礎上，引導學生經歷第三次分類活動：

師：這四組直線，讓你分成兩類，打算怎樣分？為什么這樣分？

生：根據是否相交，第2組直線分成一類，第1、3、4組直線分成一類。

師：根據現在分類結果，你能想辦法把同一平面內的兩條直線的位置關系整理出來嗎？

生：同一平面內兩條直線的位置關系，可以分為：平行和相交，其中相交中包含相互垂直。

在學生深刻認識相互平行和相互垂直的概念的基礎上，通過學生的比較、分析、整理和交流等活動，促使學生在更高層次上歸納和概括同一個平面內兩條直線的位置關系已經“水到渠成”。案例中，學生利用文字或思維導圖等形式，表征同一平面內兩條直線的位置關系，有助于學生深化和提升概念理解水平，形成良好的認知結構。

[責任編輯：陳國慶]