理清關系，提高“解決問題的策略”教學的有效性

錢建兵

“解決問題的策略”是蘇教版數學教材編排的內容。策略的教學，不同于方法的習得，需要通過主體的多次反思，向下尋找具體操作方法的支撐，向上呼應高位的數學思想，從而積淀成為個體的一種思維方式與解決問題的能力。一定程度上說，策略并不是教師“教”給學生的。因此，在教學中，需要滿足不同層次學生運用策略的需求，把準策略學習的目標，打通經驗與方法的聯系，促進數學思維方式的形成，提升學生解決問題的能力。

一、找準內需共振點，處理好不同層次需求的關系

只有主體在真實的思維情境中，產生用策略的內需，才能激活、調用相關經驗，積極主動地使用策略，為策略的內化與方法的外顯提供積極的體驗。因此策略教學要基于學生的需要，而不同層次學生的需求是不一樣的，教學需要找到不同學生使用策略的共振點，引發共同的需求。教學中存在的誤區，就是將教師的需求強加給兒童，以抽象需求代替具體的需要。

以“列表整理的策略”為例。應該說，整理信息的需求與信息的復雜程度及呈現方式是相關的，沒有多余信息，也就沒有整理的需要了。所以，教學時可將例題中的信息復雜化，適當加入多余信息，并且雜亂呈現。無序與多余，調動了學生進行積極地思維，增加了整理的內需。

學生的需求從哪里來？一是生發于認識上的“空白”，“該有而沒有”之處;二是要滿足學生的本能。以“畫圖策略”教學為例。課前的前測結果表明，學生全部能正確地畫出線段圖。這除了跟之前學習其他策略時用過畫圖之外，一個重要的原因是數學教師在教學中，都不自覺地用了線段圖。對例題中的和差問題，有近一半的學生能在沒有任何提示的情況下自主解決。

顯然，如能輕松正確地解答題目，畫圖的內需是不強烈的。不同層次學生需求的共振之處在于，既讓做錯的學生清楚其錯誤的根源，又要引發做正確的學生在理解上不斷深入，而畫圖正好是幫助學生達到目標的一種好方式。教學緊緊圍繞算式的意義展開，既讓學生感覺到自己的“該有”，又讓學生看清自己的“沒有”。利用圖形交流，既是一個數量關系明晰的過程，又是一個認識伴隨表達與交流逐步深化的過程。這樣的情境下，畫圖策略才是學生需要的自然流露。而在此過程中，隨著學習的深入，線段圖一直是學生交流、發現的強有力的工具。最終，通過學習，總有一些感性的、思想方法層面的東西積淀下來，這就是策略形成的基本形態。

虛假的需要對策略的體驗是淺層次的。只有策略的使用意識被喚醒，相關經驗被激活并且深度參與了思維活動，對策略的感悟才能有更深層次的積累，所謂學習才能真正發生。

二、關注經驗斷點，處理好已知與應知的關系

學生對策略的認知并不是張白紙，造成教學中“無力感”的原因在于，把策略當成一種新知識進行教學。策略教學以解決問題為載體，讓學生將一些零散的、無意的行為上升為能靈活運用的能力。而這些策略能力，是存在于學生經驗中的，只是有些是無意識的，存在著運用能力的高低而已。因此，教學要充分利用好學生的已知，處理好已知與應知的關系。

以“一一列舉”為例，其實學生并不陌生。如數的分成、乘法口決表、用數字卡片組數、用若干個小正方形拼不同的長方形、搭配的問題……可以說，一一列舉伴隨著數學學習的全過程，學生有著較為豐富的有序列舉經驗。如果教師還是著重強調不重復、不遺漏，那么教學將會是無效的。教學中教師引導學生理解長與寬之和是11米之后，把重點放在讓學生“列舉長與寬可能是多少”上。按理說，學生有10以內數的分成經驗，把11進行分成，是不大會出現重復、遺漏現象的。但不少教師經歷這一環節時，都不約而同地尋找學生在列舉時的錯誤，一旦發現，如獲至寶。將個別錯誤拿出來大書特書，這意味著對教學的準備是有偏差的。

為什么需要一一列舉？因為需要知道所有答案，所以必須把答案都一一寫出來。也就是說，一一列舉對學生而言，思維的起點在于了解運用列舉的情境與如何進行合理分類，使列舉不重復、不遺漏，這也是經驗上的斷點。有些題目，不能用常規的方法，或一時找不到思路，想不到解決問題的辦法，就可以用一一列舉，如租船問題、雞兔同籠問題等，通過列舉，可以幫助我們發現其中的規律。例題是一個極值問題，怎樣圍最大？如果直接出示例題，學生不容易想到“要把全部的圍法找出來，然后確定最大的圍法”。如果沒有“周長一定，形狀不一定”這一經驗，學生就想不到會圍成多種長方形。基于以上認識，教學中可讓各個小組探究出一種圍法之后進行交流，由于各組圍法不一樣，于是周長一定，形狀不同的圍法就自然而然地出來了。這樣，多中選優的解題思路水到渠成，一一列舉的需要也自然而生，體驗也更豐富。

三、把握思維關鍵點，處理好外在形式與思考過程的關系

“如果學習者能夠了解他用這些新知識能做什么事（最好是短期內能做到的事），他就會去學習。其次，如果學習者能夠改變原初的心智結構，甚至徹底重塑心智結構，他就能學習。最后，如果新知識或對知識的新表達能給學習者帶來‘好處，并讓他在解釋、預測或行動時感受到這種好處，他就能學習。”[1]策略教學需要讓學生不斷地體驗策略給他們帶來的“好處”，而這里的好處，就是解決問題能力的提升，而不是為了策略而策略。

以“列表整理”為例，不少學生會把列表看成是一種負擔，不愿意列表整理，一是列表麻煩，二是如何設計表格需要思考，還有一些學生不需要列表整理就能解決問題。列表整理的價值在哪里？一次測試中有這樣一題：1平方米闊葉林在生長季節，每天大約吸收0.1千克二氧化碳，釋放（? ?）千克氧氣，南山湖公園有1 000平方米的闊葉林，每天可以吸收（? ?）千克二氧化碳，釋放73千克氧氣。學生的錯誤率非常高。但是如果改變敘述的順序或形式，如以表格呈現，許多先前做錯的學生都會做了。其實，原先的題目之所以難，是因為它的敘述不利于學生找到相關聯量之間的對應關系。這說明了列表的目的與價值：讓內隱、散亂的條件之間的關聯變得外顯，從而利于學生把握數量之間的關系。列表不應獨立于分析問題的過程之外，脫離了解決問題的列表是沒有意義的，要處理好外在形式與思考過程的關系。

表格的目的是增強條件之間的關聯。當整理時的思維不能將其與表中預設的分類對應起來時，列表就成為解決問題的障礙。教學要將如何列表整理與如何把握關系這兩個思維過程統一起來，不能為整理而整理。教材也正是基于這樣的考慮，在出示題目后有兩個卡通人物的提示：按果樹的種類進行整理和根據問題選擇條件進行整理。在呈現題目后，可直接讓學生按自己的方式整理。在交流時選擇兩份有代表性的表格，一種是所有果樹的信息都整理，另一種只整理了與問題相關的兩條信息。如圖1、圖2。

在交流時，首先要緊緊抓住“為什么要把果樹的品種、行樹及每行的棵樹寫一起”，引導學生對整理的過程進行反思，使學生意識到“果樹的品種、行樹及每行的棵樹”是相關聯的一組信息。將“沉睡”狀態的經驗喚醒與提煉，體會整理的價值。接著，引導學生對兩種整理方法進行比較，體會“按條件進行整理”與“按問題進行整理”兩種思路。通過比較，一是得出不管怎樣整理，都是要把對應的條件整理在一起，體會列表整理背后的一一分類的思想和對應的思想，二是讓學生體會可以根據問題選擇相關的信息。在此基礎上形成表格，橫向的、縱向的、有無表格線、對條件的摘錄是不是最為簡潔等，這里都不是關鍵，重要的是讓學生認識到，整理就是分類，就是把關聯的信息放在一起，條件與條件之間有對應關系。關聯的條件在一起可以“從問題想起”，也可以“從條件”想起。這樣教學，把整理條件作為分析數量關系的過程與手段，在整理的過程中把握數量關系，從而體會列表整理對分析數量關系及解決問題的幫助，體會列表整理的價值。

四、 打通思想升華點，處理好前后學習之間的關系

策略的形成離不開反思與回顧。教材也有反思與回顧環節。然而，在教學中不少教師照本宣科，引導學生把學過此種策略的情境過一遍。一方面學生憑空想不到，二是不能建立聯系，對策略的新認識與原有經驗不能很好地整合，經驗是斷層的?；仡櫟膬r值在于，當學生“正式”學習了某種策略后，能以一個新的高度——以更上位的數學思想站位去審視自己的行為。

以畫圖的策略為例，筆者在教學時是這樣設計的：首先從倍的認識回顧畫圖的方法，一個物體就畫一個圖形。接著，讓學生試著用線段圖表示。在此基礎上，引導學生比較兩種圖各自的特點：你喜歡用哪種圖表示？為什么？有的學生說“喜歡能具體看出數量多少的圖”，也有同學說“喜歡線段圖，它的本領大，能表示出更多的”。正當意見似乎要傾向線段圖時，出示探索周期規律時的圖3。

此時，學生們紛紛表示，要畫具體一些，才能更清楚地看出規律。通過這樣的回顧，學生不僅體會到每種圖都有各自的優點，畫圖的目的是更清楚地發現數量之間的關系，要根據需要畫合適的圖，這樣就加強了畫圖策略前后學習的聯系。從示意圖到線段圖，引領學生回顧從具體到抽象的學習歷程，溝通了兩者之間的聯系，對畫圖的策略有了整體的認識。

總之，策略的教學中要激活學生用策略的真實需求，在學生已有經驗的基礎上，引導學生的思維向縱深發展，在解決問題的過程中感受策略，對策略有全面的認識，既有下位的方法支撐，又積極呼應相對應的數學思想，這樣才能提高策略教學的有效性。

參考文獻

[1] 安德烈·焦爾當.學習的本質[M].杭零，譯.上海：華東師范大學出版社，2015.

[責任編輯：陳國慶]