走進函數綜合，解法探析思考
——以一道函數綜合題為例

☉江蘇省常熟市白茆中學 張建亮

函數綜合題在中考中常以壓軸題的形式出現，該類試題綜合了眾多的知識內容，題型變化多樣，綜合性強，對學生的解題思維要求較高.本文以一道函數與幾何的綜合題為例開展解題探究，分析思考，并提出相應的教學建議，與讀者交流.

一、問題呈現

圖1

（1）試求點B的坐標及拋物線C的解析式.

（2）若點M（m，0）為x軸上的一個動點，過點M作x軸的垂線，與直線AB相交于點P，與拋物線C相交于點N.

①若點M在線段OA上運動，當B、P、N三點組成的三角形與△APM相似時，試求點M的坐標.

②若點M可在x軸上自由運動，定義：如果M、P、N中恰好有一點為其他兩點所連線段的中點，則稱M、P、N三點為“共諧點”.請寫出M、P、N三點為“共諧點”時參數m的值.

二、思路分析

本題目為初中常見的函數綜合題，是以直線和拋物線相交為背景而構建的.第（1）問求解相關點的坐標及函數的解析式，屬于常規問題.第（2）問是以點動為基礎命制的考題，第①問分析三角形相似的情形，第②問求解新定義下的參數值，是本考題的難點所在.問題涉及解析式求解、動點分析、三角形相似，以及線段中點等內容.

第（1）問求解點B的坐標關鍵是明晰該點與直線、拋物線及坐標的關系，求解拋物線的解析式，實際上就是求解析式中b和c的值，從方程角度出發，需要求解拋物線上的兩個點，構建二元一次方程組.

第（2）問表明點M為x軸上的動點，點M運動必然會影響△BPN的形狀，第①問分析△BPN與△APM相似時的情形，則需要分析△BPN和△APM的特性，在函數背景下利用“對應角相等，對應邊成比例”的判定定理解題.第②問定義了“共諧點”，則首先需要理解定義的內容，即三點中，其中一點為另外兩點連線的中點，基于該定義來討論三點之間的關系，將其位置關系轉化為坐標之間的數量關系.

三、解答過程

（2）①由題干可知PM始終垂直于x軸，故△APM為直角三角形，則tan∠PAM=.△BPN和△APM始終存在一組對頂角，故只需要確保另一組內角相等即可，即△BPN中也存在一個90°的角.下面分別討論：

（ⅰ）當∠BNP=90°時，如圖2所示，直線BN平行于x軸，則點B和點N必然關于拋物線的對稱軸對稱.點B的坐標為（0，2），拋物線C的對稱軸為直線x=，所以點N的橫坐標為，即點N的坐標為 （， 2），所以點M的坐標為 （，0）.

圖2

圖3

（ⅱ）當∠NBP=90°時，過點B作MN的垂線，垂足為點H，如圖3所示，則tan∠PNB=tan∠PAM=.點H的坐標為（m，2），點N的坐標為則BH=m，HN=-m，則，解得m=，所以點M的坐標為

②存在以下三種情形.

圖4

圖5

圖6

（ⅰ）點P為NM的中點，如圖4，則MN=2PM，即點N的縱坐標為點P的縱坐標的2倍，可得方程m+2=），解得m=3（舍去）或m=.

（ⅱ）點N為PM的中點，如圖5，則PM=2NM，有yP=2yN，可得方程m+2，解得m=3（舍去）或m=-.

（ⅲ）點M為PN的中點，如圖6，則PN=2PM，點P和點N關于x軸對稱，PM=MN，則有m+2=解得m=3（舍去）或m=-1.

四、解后思考

本題目為函數綜合題，在中考中一般以壓軸題的形式出現，除了考查學生對函數基礎知識的掌握，還常通過知識融合考查學生綜合運用知識的能力.上述就是函數與幾何知識的融合，考查幾何性質與函數之間的聯系，具有一定的代表性，下面對試題進一步思考.

1.考題的命題特點

考題以直線與拋物線為背景，考查函數與幾何知識的聯系，其特殊性在于構建了一個動點，第（2）問以點動為依托，分別引入了三角形相似和幾何新定義.題目具有很強的拓展性，知識的銜接較為緊密，既能考查學生對兩大知識領域的聯系性的把握，又能考查學生全面分析問題、轉化問題的能力.

2.解題的關鍵步驟

總體而言，本題目屬于函數動點問題.第①問分析動點函數背景下的三角形相似，解題的關鍵是把握兩個三角形的特性——存在對角且△APM為直角三角形，需要基于該特性，結合三角形相似的判定定理來構建思路，將問題轉化為分析點的坐標或線段長.第②問屬于幾何新定義題，看似復雜，實則是分析線段中點的問題，關鍵是全面考慮“共諧點”的三種不同情形，將中點性質與點的坐標的關系相聯系.

3.值得學習的方法

上述在處理線段動點時采用了“參數表示，化動為靜”的方法，即設定動點的坐標，將所求點的線段長用含有動點坐標的參數來表示，然后結合條件探尋線段之間的等量關系，構建相應的代數方程.因此學會動點問題的簡化策略很重要，而動點的參數化是其中較為有效的一種方法，需要注意的是，要關注參數的取值范圍，確保定義的正確性.

4.常見的變式形式

上述與幾何相結合的函數綜合題在中考中很常見，其問題類型也較為多樣，可以對本題目的第①問適當變式.

變式1：當B、P、N三點組成的三角形與△APM相似時，試求△BPN的面積.

參考思路：解題的關鍵依然是把握三角形的特性，構建相似的情形，從而確定點M和點N的坐標.考慮到兩個三角形為直角三角形，因此可以直接由點的坐標轉化為對應的線段長，然后基于三角形的面積公式求解，有兩種思路：①直接求得△BPN的底和高；②求解兩三角形的相似比，求出△APM的面積，然后用相似比轉化.后者看似復雜，但考慮到相似的情形有兩種，△BPN的位置發生變化，而△APM的位置基本不變，更容易分析.

變式2：在x軸上是否存在一點N，使得B、P、N三點組成的三角形與△APM全等？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

參考思路：該變式為常見的存在性問題，分析時同樣可以參考上述解題的思路，先構建相似，然后引入一組對邊相等即可.因此可以把握其中的直角特性，確定點的大致分布.對于分類的第（i）種情形，點P必然為MN的中點，從而確定點N的坐標.對于第（ii）種情形，則需要進一步考慮AM=BN.因此對于全等問題，可以轉化為分析相似比為1的三角形相似問題.

五、教學建議

1.注重思路講解，掌握解題策略

函數綜合題具有很強的知識綜合性，在教學中開展對應的解題教學可以加速學生的知識融合，提升學生的解題能力.教學時特別需要注重引導學生掌握問題的轉化方法和構建思路.如上述函數背景下的相似問題，應轉化為分析平面直角坐標系中線段和點的坐標的關系，構建對應的代數方程來確定點的坐標.對于新定義題，則需要引導學生認真讀題，理解定義，然后結合題干條件分析定義下的問題，將其轉化為簡單的函數或幾何問題.問題是變化多樣的，但解題的方法和策略是不變的，教學中應注重學習方法指導.

2.滲透解題思想，提升解題思維

求解綜合類考題離不開解題的思想方法，利用數學思想方法可以全面分析問題，使問題簡單化，提高解題效率.如上述解題過程利用了分類討論和數形結合思想，正是在上述兩種思想的配合下，使得問題更為直觀，分析過程更為嚴謹，從而確保了答案的正確性.因此，在教學中不僅需要指導學生解題，還需逐步滲透數學的解題思想.考慮到思想方法較為抽象，教學時可以結合具體的內容，如在講解拋物線時滲透數形結合思想，利用“數”與“形”的結合幫助學生掌握拋物線的特性.數學思想方法是思想層面的內容，通過數學思想的滲透可以在潛移默化中提升學生的解題思維，從根本上提升學生的解題能力.