初中數(shù)學(xué)“分式”的深度學(xué)習(xí)

☉山東省淄博市張店區(qū)第九中學(xué) 高軼群

☉山東省淄博市張店區(qū)第九中學(xué) 牛文軍

分式屬于代數(shù)式的外延，是用來表達(dá)情境數(shù)量關(guān)系和解決生活問題的一種工具.它與整式、分?jǐn)?shù)、方程、不等式、反比例函數(shù)及圖形部分都有著千絲萬縷的聯(lián)系，對(duì)它的掌握程度直接影響到對(duì)這些內(nèi)容的掌握.所以，教師要深入理解分式的概念，探究它的本質(zhì)，通過現(xiàn)象觀其“形”，透過本質(zhì)抽絲剝繭觀其“里”，兼顧內(nèi)外全面理解探究分式的內(nèi)涵.

一、透過數(shù)學(xué)史，觀分式之背景

分式源自于代數(shù)式，想要透徹地理解分式，首先需追本溯源到代數(shù)式.人類數(shù)學(xué)發(fā)展史中首先出現(xiàn)的是具體的“量”，如1棵樹、3只羊等，經(jīng)過漫長(zhǎng)的歲月洗禮，“量”也得到相應(yīng)的發(fā)展，產(chǎn)生了如1、2、3、、等具有抽象意義的“數(shù)”，這是具體的“量”發(fā)展為抽象的“數(shù)”的過程，也是數(shù)學(xué)史上一次“質(zhì)”的飛躍，“數(shù)”的產(chǎn)生決定了算術(shù)理論的產(chǎn)生.隨著人類思維的發(fā)展和生活現(xiàn)實(shí)的需要，抽象的“數(shù)”也不能滿足人類的需求了.如：想要表述數(shù)量之間的規(guī)律性，例如，加法或乘法交換律等，用純粹的“數(shù)”難以表達(dá)清楚，數(shù)學(xué)史上的第二次“飛躍”應(yīng)運(yùn)而生，即使用字母代表相應(yīng)的數(shù).法國(guó)的韋達(dá)先生在1591年，在總結(jié)前人“數(shù)”的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，通過《美妙的代數(shù)》這本書，表達(dá)了使用一些字母符號(hào)對(duì)已知和未知的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行表達(dá)，打響了代數(shù)和算術(shù)區(qū)別的第一槍.抽象的字母符號(hào)在代數(shù)中使用的方式，有效地推進(jìn)了代數(shù)的歷史發(fā)展“.數(shù)”和“字母符號(hào)”同時(shí)參與數(shù)學(xué)運(yùn)算的方法使“代數(shù)式”走上數(shù)學(xué)史的大舞臺(tái).

人類文化早期階段，分?jǐn)?shù)隨著生活的實(shí)際需要，在均分和度量的基礎(chǔ)上產(chǎn)生.生活中的兩個(gè)數(shù)無法進(jìn)行整除，則使用分?jǐn)?shù)來表達(dá)其結(jié)果.所謂的分?jǐn)?shù)，“分”源自于平均分配，這也是“分?jǐn)?shù)”名稱的由來.從分?jǐn)?shù)到分式的變化，除了“形似”，還要把分?jǐn)?shù)的分母、分子從具體的數(shù)朝字母表示的數(shù)發(fā)展.如、、……之間的規(guī)律可以使用字母表達(dá)，分式也隨之產(chǎn)生.同樣，在整式相除的運(yùn)算中，也需要將分式運(yùn)用到其中.因?yàn)榉质胶头謹(jǐn)?shù)在形式上雷同，根據(jù)人類常規(guī)思維模式，根據(jù)分?jǐn)?shù)的名稱命名分式.當(dāng)前數(shù)學(xué)教材中，對(duì)于分式使用的是形式性概念，如：字母A和B分別是兩個(gè)整式的代表，而字母B中又含有字母，則這個(gè)代數(shù)式就稱為分式，字母A是這個(gè)分式的分子，字母B是這個(gè)分式的分母.

二、代數(shù)思想，解析分式內(nèi)涵

分式具有分?jǐn)?shù)的一切特點(diǎn).但是，代數(shù)式又有著區(qū)別于分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵，它的抽象性決定了自己具有獨(dú)特的基本屬性.

1.分?jǐn)?shù)與分式的比較

分式起源于分?jǐn)?shù)，是在分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上，根據(jù)生活需要而衍生出的新內(nèi)容.運(yùn)用字母代表“數(shù)”，將一些辯證思想滲透到分式中，使分?jǐn)?shù)與分式產(chǎn)生橫向的關(guān)聯(lián).由此可見，分?jǐn)?shù)與分式性質(zhì)相通，形式相同，分式可以理解為分?jǐn)?shù)的一種常用形式，而分?jǐn)?shù)又是分式的特別案例.在數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)中，根據(jù)分式和分?jǐn)?shù)的性質(zhì)進(jìn)行對(duì)比和轉(zhuǎn)化的過程中，既要符合表面的“形”，也要深入理解由“形”導(dǎo)致的內(nèi)涵之變.分式的運(yùn)算中，要根據(jù)其性質(zhì)和屬性進(jìn)行類比分析，找出其中的異同點(diǎn).

2.分?jǐn)?shù)到分式的轉(zhuǎn)化

（1）分母為0的情況.

分母在分式中代表的是除數(shù)，在數(shù)學(xué)運(yùn)算中0是不可以做除數(shù)的，所以，在分式中，0不可以作為分母.那么，分式的概念中，怎么沒有附加上B≠0這一條件呢？其實(shí)，分式就代表著除法運(yùn)算，既然是除法運(yùn)算，就已經(jīng)包含了0不做除數(shù)的條件.此時(shí)，在分式概念中再添加B≠0這一條件，會(huì)顯得多此一舉.如果添加上B≠0這一條件，容易讓學(xué)生誤解為分母永不能是0，而分式中的分母應(yīng)該是它的值不能為0.這也是有意義和無意義分式的區(qū)別.若分式值是0，不能僅僅關(guān)注分式中的分子值為0，還要注意分母的取值不能為0.在y=（k是常數(shù)，k≠0）這個(gè)反比例函數(shù)中，x≠0的取值范圍由分母不是0所決定，簡(jiǎn)而言之，只要是蘊(yùn)含除法運(yùn)算的函數(shù)關(guān)系，其分母均不為0.

（2）去除假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)等類似的概念.

例1已知：，…，尋找出其中的規(guī)律，第n個(gè)等式是__________.

這些情況是數(shù)到式的變化.

三、從空間觀念中理解分式的形式

1175年，阿爾·哈薩創(chuàng)用“—”為分?jǐn)?shù)線，表示“÷”.在數(shù)學(xué)運(yùn)算中，簡(jiǎn)單的“—”就能代表兩個(gè)整式相除，簡(jiǎn)單、快捷地表達(dá)了分式，給數(shù)學(xué)的運(yùn)算帶來便捷.

例如，將（m+n）÷（a+b）用分式的形式表達(dá)，則可以一目了然，從中也可以看出分?jǐn)?shù)線本身就帶有括號(hào)的功能.在解分式方程的過程中，去分母后需要加括號(hào)也源于此.

3.除法與分?jǐn)?shù)線的關(guān)系

在同一個(gè)分?jǐn)?shù)中，除法和分?jǐn)?shù)線所表達(dá)的含義是類似的，“÷”僅是運(yùn)算，而分式卻可以代表運(yùn)算的結(jié)果.分式屬于代數(shù)式，代數(shù)式是算式，而分式則是兩個(gè)整式相除的算式.同時(shí)，分式也可以理解為兩個(gè)整式的比值，即除法運(yùn)算的“商”.在不同的場(chǎng)合分式有著不一樣的意義和作用.

例2想讓分式的值是正整數(shù)，則m該取何值？

想要解這道題，首先要知道數(shù)4能被什么數(shù)整除.商為正整數(shù)，即分母“m-1”是數(shù)4的正約數(shù).

例3想讓分式的值大于0，x該取何值？

想解這道題，只要找出怎樣的兩個(gè)數(shù)相除商是正數(shù)，即“x-1”與“2+x”同號(hào).

例2和例3都是關(guān)于分式值的題型，可以清晰地看出分式中的除法運(yùn)算.

4.分式計(jì)算中常見的錯(cuò)誤類型分析

分?jǐn)?shù)通分首先要尋找“最小公倍數(shù)”，將異分母化成同分母；而分式通分則是尋找“最簡(jiǎn)公分母”，在分母的轉(zhuǎn)化中要特別注意括號(hào)的添加.

多項(xiàng)式的分子、分母運(yùn)算，需要及時(shí)添加“（ ）”.

分?jǐn)?shù)約分，只是分子和分母兩個(gè)數(shù)的約分；而分式在約分中，應(yīng)該約去分子和分母的公因式，但是很多學(xué)生受分?jǐn)?shù)約分的思維影響，出現(xiàn)約分變形的錯(cuò)誤.

例4、5、6，導(dǎo)致錯(cuò)誤產(chǎn)生的根本因素是，分?jǐn)?shù)中的分母和分子僅僅是單項(xiàng)，涉及兩個(gè)數(shù)，而分式中的分母和分子是多項(xiàng)，涉及整式，在“單”和“多”之間產(chǎn)生了錯(cuò)誤的比較，從而出現(xiàn)負(fù)遷移.

例8解方程：

錯(cuò)解：方程的兩邊同時(shí)乘3（x-2），得 3·5x-4=4x+10-3x-6.

在解方程的過程中，去掉分?jǐn)?shù)線則需要增加括號(hào)，但是這種性能在分?jǐn)?shù)中幾乎沒有體現(xiàn).由此可知，分式是能夠化成兩個(gè)整式比的特殊代數(shù)式，它有三個(gè)方面的屬性：具有除法運(yùn)算的性能，分子和分母分別是兩個(gè)整式，分式的分母中必須含有字母.

定義是人們對(duì)客觀事物認(rèn)識(shí)的小結(jié)，也是思維的組成單位.分式的性質(zhì)和運(yùn)算法則，在其定義中有清晰的顯示，這一章節(jié)的核心內(nèi)容是“運(yùn)算”，只有在充分理解分式產(chǎn)生的背景、內(nèi)涵和形式后，才能提升學(xué)生的運(yùn)算能力.