激發探究熱情，助力思維提升
——一道壓軸試題的探究之路與感悟

☉江蘇省無錫市河埒中學 丁 潔

☉江蘇省無錫市雪浪中學 金 花

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式.”數學探究是新課改所倡導的重要教學方式，讓學生在探究中獲得知識、發展能力，已成為數學教學的一種追求.受應試教育的影響，部分教師在課堂教學中，往往重視結果的呈現，忽視對知識的探究，導致學生在面對新問題時無從下手.如何讓學生在獨立面對問題時“想得到”“做得到”？筆者認為，可以在課堂教學中引導學生對問題進行多角度的探索，充分發揮學生的潛能，培養學生的思維.近幾年來，“探索運動過程中動點運動路徑問題”常常成為各地中考壓軸試題，這類問題不僅蘊藏了豐富的知識，還揭示了事物的變化規律，難度較大，學生得分率較低.因此，筆者借助一次試卷評講，有意識地進行了一次數學探究，與學生一起經歷了一場思維風暴.

一、課堂教學實錄

試題：如圖1，在平面直角坐標系中，已知點A（4，0），點B為直線y=2上一動點，以AB為斜邊向下作Rt△ABC，∠BCA=90°，AC∶BC=4∶3，連接OC，則OC的最小值為_______.

圖1

統計反饋：作為填空題的壓軸題，平均得分只有0.5分，得分率僅為25%.通過與學生的交流，得知很多學生粗讀題目后，不知其所以然，再加之測試時間較緊，很多學生不得不選擇放棄.于是，在評講的時候，預留了幾分鐘給學生再思考.

生1：對于本題，可以從局部出發，尋求一個較小的切入點.由題意知△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，從特殊圖形出發，構造“K”形相似圖形.

（在生1的啟發下，我看到不少學生若有所思地點頭，看來比較贊成抓住這個切入口.執教教師示意學生開始嘗試，并隨機找了一名學生做示范）

生2：如圖2，依據∠BCA=90°，構建外“K”形，得△BHC △CTA，所以.因為點B為直線y=2上一動點，可設點B（m，2），設點C（x，y），則，化簡為，由此可求出OC的最小值為.

圖2

圖3

師：還有其他方法嗎？

生3：既然點C的軌跡是一條直線，求OC的最小值可轉化為求點O到直線MN的距離.如圖3，設直線分別與x軸、y軸交于M、N兩點，這樣在△MON中，斜邊上的高OP的長度為.此時函數問題轉化為幾何問題，數形結合更為簡單！

（話音剛落，掌聲響起，在學生釋然的表情中，相信這個靈感給學生很大的啟示，使他們思維更活躍）

師：大家還有其他更好的辦法嗎？

（學生開始積極討論了起來.）

生4：既然C點的軌跡是一條直線，那么我們只要找兩點，就能確定這條直線.

師：取哪兩點呢？

（學生忍不住開始七嘴八舌了）

生：C點應由B點的變化來求，取特殊的C點，那就需要特殊的B點……

（學生躍躍欲試，紛紛嘗試取特殊點，用特殊替換一般）

生5：利用條件中的“Rt△ABC”，直角三角形特殊位置應為“橫平豎直”，如圖4，根據三角形的兩條直角邊之比，可以求出B1C1=B2C1=，得點由C、C兩點的坐標也可求得直線CC的解析式為y=x-12121，再用剛才的代數方法和幾何方法可求出OC的最小值.

圖4

師：很棒，還有其他方法嗎？

（學生一臉狐疑，原本以為已大功告成，沒想到背后另有玄機）

師：還記得之前我們做過的一題，兩個動點到定點的距離之比為定值，且連線的夾角保持不變，相當于將“主動點”旋轉變換到“從動點”，所以“從動點”與“主動點”的軌跡相似，根據“主動點”和“從動點”之間的旋轉縮放關系，對“主動點”的運動路徑做相同變換以確定“從動點”的軌跡，這是整體的旋轉模型思想.

（學生紛紛點頭，并思考片刻）

師：以定點A為旋轉中心，將△ABC旋轉縮放得△AOO′，同時“生出”一對相似三角形，即△ACO △ABO′.

生6：如圖5，旋轉路徑既可以看成由點B轉至點C，也可看成由點C轉回點B，根據旋轉相似模型，由可知，與此同時，點O轉至點O′（0，3），構造了“一點四線”的相似，要求OC的最小值，可轉而求O′B的最小值.

圖5

（話音剛落，學生紛紛開始嘗試，隨即進行完美呈現）

生7：由點B（m，2）、O′（0，3），得|O′B|=，則O′B的最小值為1.又，則OC的最小值為

師：抓住“一定兩動”構建“路徑旋轉模型”，通過對“主動點”路徑上的關鍵信息做相同的旋轉縮放，即可確定“從動點”軌跡的關鍵信息，從而解決問題.

（學生不停地點頭）

師：剛才幾位同學從幾個不同角度進行了探究，有的采用局部切入，有的運用整體模型思想.希望大家保持這種探究熱情，提升我們的思維品質……

二、感悟與反思

上完這節課，筆者心情久久難以平復，數學探究的過程很精彩，學生的思維在碰撞，產生的思維火花有助于學生理解、掌握知識和方法，提升思維品質.

1.數學探究應選取合適的問題，激發學生的探究欲望

數學是思維的學科，解題是思維的載體，在解題教學中開展數學探究是提升數學思維的有效途徑.數學探究往往以問題驅動，其中問題的選取很重要.

（1）問題要能激發學生的探究熱情.

本題具有一定的挑戰性，得分率很低，一些基礎好的學生急于知道正確的解答及難在何處，亟待教師的幫助，學生的探究熱情高漲.

（2）問題要落在學生的最近發展區內.

本題的知識、方法都是學生原來經歷過的，只是有一定的綜合性.合適的問題，再經過教師合理的引導，經過學生多角度、多方位的探究，學生可以“跳一跳”摘到“桃子”.

2.數學探究應理解學生，促使學生積極思考

（1）以學生為主體.

數學探究的主體是學生.因此，首先要尊重學生，理解學生.由于不同學生的感知能力、認知水平、心理素質等方面都存在差異，所以不同學生理解問題的視角也是不同的，大部分學生偏向幾何直觀，有的學生側重于理性分析、數學推理.作為教師，要正視學生之間的差異，尊重學生潛在的創造力，順應學生的思維，切莫“生拉硬拽”.本節課，筆者努力讓每一名學生“發聲”，讓每名學生都學有所得.

（2）加強適當的引導.

因為課堂的限時性，要把學生的思維由形象思維逐漸過渡到理性思維.在活動中，教師要營造一個探究性學習的氛圍，一個啟而不發的班級和一個積極思考討論的班級，學習的效果是截然不同的.本課中，教師要先請數學“積極分子”拋磚引玉，這好比在干柴上加了一把火，容易營造活躍的課堂氛圍，促使學生積極思考.本題的不同解答及師生的歸納小結，也教會學生如何思考，以服務于數學教育的根本目標.

3.數學探究應注重反思，將解題經驗轉化為學科核心素養

（1）在反思中提煉經驗.

上述探究過程，是師生逐步探究、不斷深化、優化的結果，其思維價值非常明顯.因此，需要特別注重反思.反思這次探究活動，學生可以從中收獲很多經驗：“局部切入”和“整體處理”的解題策略，數形結合、特殊值代入等解題方法等.局部切入法，對于思維程度一般的學生而言，在解決問題的過程中，更多的是依賴圖形直觀和直覺思維，這樣想法自然，起點較低，易于操作.

（2）在探究中發展素養.

本題通過局部提煉條件“△ABC是直角三角形”，讓學生眼見為實，并且可以做到看圖說話，解法自然；整體處理法，對于思維水平較高的學生來說，在解決問題的過程中，宏觀審題，宏觀決策，抓住“一定兩動”構建路徑旋轉模型來解決問題，運算簡潔.從最近發展區到優化思維，使層次不同的學生，運用不同的視角，都能得到一定的思維訓練，從而培養學生的模型化思想.學生在上述探究問題解答的過程中，都在進行推理和運算，也有益于學生提升數學推理、數學運算等學科核心素養.而數學學科核心素養又能反過來幫助學生看清問題本質，提高知識遷移的能力，使學生變得越來越聰明.

通過本節課，筆者還欣喜地看到，大多數學生在分析問題、解決問題、提出疑問中，不斷完善思路.學生既經歷了探究問題的過程，也培養了解決問題的能力，這樣的思維風暴充分彰顯了學生的主體地位，進一步點燃了學生的學習熱情，使數學課堂“百花齊放”，極大地促進了學生思維能力的提升！