研究考點精準復習，回歸課本消除盲區
——以“銳角三角函數”中考一輪復習為例

☉江蘇省常熟市王莊中學 王裕龍

中考一輪復習的主要功能是梳理知識、查漏補缺，復習過程中離不開鏈接地區考題，關注高頻考點，促進學生大面積過關.然而，教材也應該是一輪復習的一個重要關注點，但是常常被忽略.本文以“銳角三角函數”的中考一輪復習為例，記錄一次磨課經歷，供分享.

一、“銳角三角函數”中考一輪復習教學設計初稿概述

活動1：知識梳理，銳角三角函數的有關概念

引入問題：在直角三角形ABC中，∠C=90°，角A、B、C的對邊分別是a、b、c.你能得出哪些結論？

教學組織：學生得出三角函數的概念，教師板書課題，并繼續復習特殊銳角的三角函數值.對照表格，引導學生觀察銳角度數的變化，函數值如何變化？教學對話時，可以安排幾個學生講解幾種銳角三角函數的增減性.進一步，已知兩邊的長度，能否求其他元素？學生肯定之后，教師小結這就是解直角三角形.接下來跟進一些考題鏈接.

練習1：如圖1，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，已知CD=2，AC=3，則sin∠B的值是 .

教學組織：PPT上跟進了不同的變式，如求∠ACD的其他三角函數值，進一步安排學生求出其他一些銳角的正弦值.成果擴大，有效復習三角函數的定義.再將中線變式為AB邊上的高，安排學生繼續求圖中各個銳角的三角函數值.

圖1

圖2

練習2：如圖2，在平面直角坐標系中，直線OA過點（2，1），求tanα的值.

預設變式：點M在第一象限，OM=，作射線OM與x軸所成夾角為α，tanα=2，分析M點的坐標.

活動2：典例剖析，銳角三角函數的應用

例1如圖3，從熱氣球P看一棟樓頂部A的仰角α為45°，看這棟樓底部B的俯角β為60°，樓與熱氣球的水平距離為150米，求樓高AB.

圖3

圖4

練習3：如圖4，某燈塔P的周圍10海里內有暗礁.有一海輪以20海里/時的速度由西向東航行，在A處測得燈塔P在北偏東60°方向上，經過30分鐘的航行到達B處，此時燈塔P在北偏東30°方向上.請分析：該海輪若不改變航線，在向東航行過程中有可能觸礁嗎？

活動3：拓展提高，較難題中銳角三角函數的應用

例2如圖5，矩形ABCD中，E是AB的中點，將△BCE沿CE翻折，點B落在點F處……

教學組織：先讓學生理解題意，提出一個問題，在小組內交流，大組適當展示之后，教師把課前預設在PPT上的一些問題漸次呈現，比如：

（1）求證：△ABF是直角三角形；

圖5

學生講解思路，老師簡要評析之后又鏈接了一道以拋物線為背景的綜合題（只是條件中含有一個正切函數值），預設教學用時10分鐘，限于篇幅，不再摘引.

二、“銳角三角函數”中考一輪復習教學設計（第2稿）

活動1：舊知復習，梳理知識結構圖

帶著下面的問題，帶領學生復習舊知.

問題1：你是怎樣理解銳角三角函數的定義的？可以舉例說說.

問題2：你熟悉哪些特殊銳角的三角函數值？列表整理一下，并分析隨著銳角度數的增大，不同的三角函數值的增減性如何變化.小組內交流.

問題3：你在判定兩個直角三角形全等時，會選擇哪些判定方法？可以結合畫圖講解你的理解.

問題4：解直角三角形時，最少需要具備哪幾個條件？

在學生回答的基礎上，PPT上呈現知識結構圖，如圖6.

圖6

活動2：典例剖析，考題鏈接與變式跟進

引用上面“第1稿”中練習1、2及例1.使用3道例、習題即可，不再增大題量，這類問題比較簡單，教學時注意規范格式，選取一道例題讓學生上臺板演，教師對照參考答案與評分標準進行現場評分.

活動3：回歸教材，經典問題變式再練習

教材經典習題1：已知等邊三角形邊長為a，求它的面積.

變式1：求半徑為r的圓的內接正三角形的邊長和面積.

變式2：求半徑為r的圓的內接正六角形的邊長和面積.

變式3：把一根長為10cm的鐵絲折成底角為30°的等腰三角形，求此三角形的各邊長（精確到0.1cm）.

教材經典問題2：證明平行四邊形的面積等于相鄰兩邊的長與其夾角的正弦值的乘積.

變式1：證明三角形的面積等于兩邊的長與其夾角的正弦值的乘積的一半.

變式2：有一個內角為72°的菱形，它的邊長為2cm，求該菱形的兩條對角線之和（精確到0.1cm）.

意圖：這兩個經典題組都改編自教材上的例、習題，將它們以題組形式呈現，有利于學生關聯復習.

活動4：課堂小結，探索銳角α的三角函數值之間的關系

小結問題1：從特殊銳角的三角函數值的列表回顧分析中，同學們能發現銳角的度數與正弦和余弦函數之間有怎樣的關系？（學生可以從增減性或同角三角函數之間的關系分析，為后面的兩個小結問題鋪墊）

小結問題2：有人發現同角的正弦、余弦函數值的平方和恰好相等，即sin2α+cos2α=1.你覺得有道理嗎？如何證明？你還能提出類似的命題嗎？

小結問題3：互余的兩個銳角，它們的三角函數值有什么關系？（預設sinα=cos（90°-α），tanα·tan（90°-α）=1）

小結問題4：還有人提出一個奇異的性質，畫出銳角三角形的外接圓，得出一個美妙的性質：=2r.你能給出證明嗎？

三、教學立意的進一步闡釋

1.中考一輪復習要梳理舊知，讓知識結構化

一輪復習梳理舊知是很多教師都能做到的，但是將知識結構化呈現就有了差距.有些初任教師往往只是簡單地組織學生回顧知識點，以填空形式復習知識，而有經驗的教師則會在復習舊知的過程中，漸次生成結構化板書或知識結構圖，使得學生在舊知復習時能通過結構圖感受到這節課所復習內容的前后關聯（鄭毓信教授指出“數學知識求聯”，說的也是這個道理），達到相對深刻的理解.

2.中考一輪復習要關注考點，讓備考更精準

功利一點看，中考復習主要是復習備考應試，而當前中考以地區命題為主，所以復習備考需要關注本地區近年來中考真題，認真研究本課復習內容在中考真題中的分配、考查題型與形式十分重要，這樣才能讓備考更加精準.需要指出的是，有些復習內容在中考試題中并不能找到直接考查的考題，但是可以在一些綜合題中查找，甚至有些題目的呈現中都找不到相關元素，但在它們的解答過程中能找到本課復習主題，也可“抓取”其中的關鍵步驟，鏈接到本課內容中來，這樣分散綜合題的難點或關鍵步驟進行專題訓練，可以讓備考更加有效.

3.中考一輪復習要回歸教材，讓復習無盲區

我們知道，平時的教學需要認真研讀教材，“以本為本”，從“教教材”走向“用教材教”.然而在中考復習時，不少教師的教學設計被大量的來自全國各地的“中考題”填滿了課堂，使得復習時要回歸教材成為一句空話.我們在上文課例打磨過程中，注重引導學生回歸教材，一方面，重視選用教材章末小結時的一些“提示語”，另一方面，對教材相關章節中的經典例、習題進行改編選用，使得它們以題組的形式呈現在復習課學案中，帶領學生進行題組訓練，以達到較好的訓練效果，消除復習盲區.