去偽呈真：人教版“23.1圖形的旋轉”的修訂建議*

☉江蘇省如皋市石莊鎮初級中學 印冬建

在人教版教材中，“旋轉”被安排在九年級上冊.本章共安排了“圖形的旋轉”“中心對稱”“課題學習：圖案設計”等三節教學內容.其中，“23.1圖形的旋轉”是本單元的核心內容，它是學生認知“特殊的旋轉圖形”——中心對稱圖形的基礎.因而，幫助學生準確理解旋轉的定義、探索旋轉的性質就成為了教學的關鍵.然而，人教版教材“23.1圖形的旋轉”中的諸多“瑕疵”不利于上述目標的達成，需要教材再版時修訂完善.現呈現這些“瑕疵”并談一些修訂建議，希望能為完美教材的建設提供參考.

一、教材存在的問題

1.探究失真，不利于深度學習

教材再現：教材第60頁“探究”：

在硬紙板上，挖一個三角形洞，再另挖一個小洞O作為旋轉中心，硬紙板下面放一張白紙，先在紙上描出這個挖掉的三角形圖案（△ABC），然后圍繞旋轉中心轉動硬紙板，再描出這個挖掉的三角形（△A′B′C′），移開硬紙板.

△A′B′C′是由△ABC繞點O旋轉得到的. 線段OA和OA′有什么關系？∠AOA′和∠BOB′有什么關系？△ABC和△A′B′C′的形狀和大小有什么關系？

緊跟“探究”的是對旋轉性質的“歸納”：對應點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角，旋轉前、后的圖形全等.

圖1

問題分析：探究中，要求學生沿著三角形洞的邊沿描出△ABC，待旋轉一定角度后，再沿著三角形洞的邊沿描出△A′B′C′.這樣的“描圖”操作，只要有些許生活經驗的人都懂得“根據同一個‘模子’，描出的兩個圖形應該是一樣的”的道理.顯然，接下來教材給出的三個問題完全無視學生的已有經驗，硬是“逼著”學生沿著“線段—角—三角形”的順序展開性質探索，“歸納”三個結論.這樣的探究，看似以學生已有的知識與經驗為基礎，實則不然，編者給出的看似合理的“描圖”操作成為學生發現結論的基本途徑，他們獲得旋轉的性質依賴于這種沒有思維深度的操作與觀察，“知識快餐”的形成讓學生無法深刻體會到旋轉過程中的“變與不變”，幾乎每一個個體的學習都停留在淺表層面上，沒有深度和廣度，也就談不上數學素養的提升了.

2.問題不清，不利于理解概念

教材再現：

題1：教材第59頁練習3：如圖2，杠桿繞支點轉動撬起重物，杠桿的旋轉中心在哪里？旋轉角是哪個角？

圖3

圖2

題2：教材第61頁練習3：找出圖3中扳手擰螺母時的旋轉中心和旋轉角.

題3：教材第62頁習題23.1第2題：說出如圖4所示的壓水機的旋轉中心和旋轉角.

圖4

問題分析：這些練習都要求學生“找（說）出圖中的旋轉中心和旋轉角”.對于圖中的旋轉中心，學生根據定義是可以順利找出的，這一點筆者沒有異議.關于旋轉角，教材是把一個平面圖形繞平面內某一點O“所轉動的角”叫作旋轉角.顯然，旋轉角并不一定就是某一個能看得見的角，它應該是整個圖形所轉動的角，可以用具體的數據（度數）來表示.對此，多處教材有此陳述：教材第59頁，結合圖23.1-1（即圖5）中時針的旋轉給出了“旋轉角是60°”，這里的旋轉角是一個角度；教材第59頁練習第2題，時鐘的時針在不停地旋轉，從上午6時到上午9時，時針的旋轉角是多少度？問題“時針的旋轉角是多少度”同樣將旋轉角定位為一個度數；教材第60頁“旋轉的性質”第2條“與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角”，這里說的是“等于旋轉角”，而不是“是旋轉角”.因此，如果說我們可以將題1中的杠桿抽象成一條線段用∠AOA′表示旋轉角，而題2和題3都是復雜物體的旋轉，旋轉角理應是整個物體轉動的角，想要讓學生從整體的角度來獲得旋轉角是不容易的.此外，對旋轉角的分析應基于一個完整的轉動過程，這在題1和題2的圖中有很好的體現，然而，不知編者作何考慮，題3所呈現的圖片中手壓桿在出水位置，并沒有如另外兩題那樣顯示手壓桿的起始位置.因而，要學生根據這樣一幅靜態的圖片來明晰變換中的旋轉角，顯然是不太可能的.

3.情境不公，不利于普遍發展

教材再現：教材第62頁習題23.1第2題，題目略.

問題分析：本題圖片（圖4）中所展示的是壓水機出水的情形，壓水機在我國農村曾經被廣泛使用.選用這幅圖，顯然是考慮到了壓水機曾經的“輝煌”，這與“呈現內容的素材應貼近學生現實”的教材編寫要求是基本吻合的.正是由于壓水機的大范圍、普遍性使用，在最初看到這幅圖片時，身在農村的我覺得還是與教學內容挺匹配的.因為身在農村，我無法考證城里的學生是否認識這個壓水機，所以，也就一直持有“城里的孩子是不是認識它”的疑慮.時至今日，自來水迅速入戶，壓水機淡出了農村學生的視野，這時我已不只是糾結于城里孩子了，面對圖4，我不得不追問：農村孩子還認識它嗎？暫不論題目的解題要求上存在的問題，僅就壓水機的使用而言，學生如果沒有使用的經歷也就談不上生活的經驗了，那么，讓一群沒有活動經驗的孩子去“猜想”旋轉中心和旋轉角，與有著豐富生活經驗的孩子相比，問題情境的設置顯然是不公平的.筆者認為，像這種帶有明顯時代特征和區域特征的圖片在教學中使用是不公平的，一線教師是無法借助教材推動所有學生發展的.尤其是人教版教材，其使用范圍大，影響區域廣，編寫教材時應充分考慮創設情境的數學味和生活味，要選擇那些普適性強、區域特征弱、認可度高的生活情境融入教材，使教材最大程度上實現其公平教學的價值.

圖5

二、修訂建議

1.改編教學流程，設置梯度追問

為了改變原有教材中探究“失真”的情形，筆者建議教材再版時對本節課的教學流程進行改編.筆者才疏學淺，無法如編者那樣呈現文、圖、符高度關聯的教材語言，這里所呈現的是我心中的探索歷程，僅供參考.

（1）觀察圖形，歸納概念.

利用圖6、圖7，讓學生感知“旋轉是一種有規則的轉動”，并在對“規則”的追問中，分別歸納圖形的旋轉、旋轉中心、旋轉角的定義.

圖6

圖7

（2）抽象圖形，形成結論.

基于圖7，進行追問：如果我們將時針的針尖抽象為點P，你能用數學語言描述一下圖7中的旋轉嗎？旋轉前后的對應點P、P′到旋轉中心O的距離有怎樣的關系？旋轉角可以怎么表示？如果我們將時針抽象為線段OP，圖7中的旋轉又可以怎樣描述？OP與OP′有怎樣的關系？進而引導學生歸納結論：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角.

（3）遞進作圖，探索性質.

學生活動：按下列要求分別作圖：

①作出點A繞點O旋轉60°后的對應點A′；

②作出線段AB繞點O旋轉80°后的圖形；

③作△ABC繞點O旋轉任意角度（說明：角度自己確定）后的圖形.

在學生給出了③的結果（圖1）后，進行追問：圖1中的兩個三角形有怎樣的關系？為什么？然后便是對全等緣由的詳細分析.學生首先應利用（2）中歸納的結論證明△AOB≌△A′OB′，△BOC≌△B′OC′，△AOC≌△A′OC′，再從這三對全等三角形中提取出能證明△ABC≌△A′B′C′的條件，從而得出結論：旋轉前、后的圖形全等.

改編說明：與教材相比，筆者設計的教學活動讓學生在已有知識和經驗之上獲得新知，與學生的認知現狀和發展規律是較為契合的.筆者對教學流程的改編，是從教材給出的鐘面和風車這兩幅圖開始的.對這兩幅圖的抽象和追問，意在讓學生體會“旋轉是‘有規則’的圖形變換”，并歸納出這種“規則”，從而形成旋轉的定義.由于在小學時學生已經積累了一定的作圖經驗，所以在學生獲得了“對應點到旋轉中心的距離相等”和“對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角”的結論后，筆者安排學生按照“點→線段→三角形”的順序作圖并探索旋轉的性質，這與學生積累的平移、翻折的學習經驗是高度契合的.這樣改編，讓學生立足舊知學新知，由易到難展開深度探究，與原教材的流程編排及“探究”設計相比，這里對原教材中“拉著三角板轉動作圖探索”經歷的“只發現結論，不證明結論”的做法進行了提升：證明△ABC≌△A′B′C′，不僅及時鞏固了新學結論，還明晰了“旋轉前、后的兩個三角形全等”的真正緣由.其作用，并不止于旋轉性質的獲得，還應在“學生不僅知其然，且知其所以然”的意蘊外，向學生傳遞“述之有據，言之有理”的數學特有的價值理念.

2.調整練習問題，明確解答方向

關于上文中所述的教材練習設置問題，筆者認為可以調整原練習中的問題，將其由“找（說）出圖中的旋轉角”改為：請在圖中畫出一個能表示旋轉角的角.兩者相比，新的表述指向更為明確.以圖2為例，學生在解答“找（說）出圖中的旋轉角”時，很多人認為“旋轉角是∠AOA′與∠BOB′”，這樣的表述很容易讓學生誤認為“一次旋轉中有兩個甚至無數個旋轉角”，這顯然與旋轉角的定義是偏離的；對于新問題，用“∠AOA′、∠BOB′都可以表示旋轉角”來作答是完全可行的.這樣的解題要求調整，不僅有利于學生深入理解“轉動的角叫旋轉角”，還能讓他們真正領會到“旋轉過程中，旋轉前、后對應點的變換規律即為整個圖形的變換規律”的旋轉“事實”，從而為接下來深入認知旋轉的性質奠定了重要的基礎.此外，關于旋轉角的教學，筆者還有一個建議：在明確了“轉動的角叫作旋轉角”和對應點的定義后，結合圖7明確“我們可以用對應點與旋轉中心所連線段的夾角來表示旋轉角，即∠POP′”.不知當否，還請編者斟酌.

3.改變問題情境，打造公平教材

打造公平教材，應是教材編者的普遍追求.因而，對于筆者在上面所說的問題的情境設置問題，我們同樣應進行針對性調整.具體可以有兩種調整方法：第一種是不考慮壓水機的使用情況所帶來的認知差異，增加有助于學生理解圖形旋轉的問題情境，也就是如圖2和圖3那樣，用虛線畫出壓水機手壓桿的起始位置，或者展示手壓桿的原始位置和出水位置的兩幅圖片，這樣可以將因不熟悉壓水機工作原理所帶來的學習偏差最大限度縮??；第二種是將圖4換為學生所熟悉的場境圖片，如一只腳轉動的圓規、轉動的水龍頭等.至于新圖的使用，筆者同樣建議呈現出旋轉的起始位置和終極位置，一般學生能感知圖形旋轉的過程，為準確確定旋轉角和旋轉中心掃清障礙.

三、寫在最后

呈現完美的教材，既是教材編者的追求，也是一線教師的期待.然而，由于教材編寫、出版、應用及修訂需要一個較長的時間周期，這在很大程度上讓我們所使用的教材很難做到與時代發展完全同步.那么，在教材無法“同步”的情況下，一線教師該如何做呢？筆者認為，除了如本文這樣“大聲疾呼”，更多的應是腳踏實地創造性使用教材，即將對教學不適的教材內容進行本土化重組，設計出與本班學生發展同步的探究情境與教學流程，為學生獲取“四基”提供一切便利.當然，這種重組應建立在對原教材充分尊重的基礎之上，畢竟我們對教材的理解是局部且有限的，教材中所存在的這些“瑕疵”是不足以撼動教材的工具性地位的.教材的教學化，應基于教材，活用教材.以上，僅為個人在教材使用過程中的體會與感悟，所提建議未必準確，不當之處，懇請同行專家、教材編者批評指正.F