在概念內涵發展中提升學生的備考能力
——以圓和圓的位置關系為例

☉江蘇省睢寧縣第二中學 朱 振

學生進入初三，中考備考隨之而來，在初三下學期數學學科基本上都是復習了.為了科學備考，讓學生進一步明確考向，學校近期舉行了一次關于圖形與幾何的公開課，經過集體備課后讓青年教師曬課，再集體打磨，讓我校初三數學備課組形成了合力.

一、分析近年來數學試卷的特點，研究課堂教學的程序

集體備課時，我們帶來了近三年的中考數學試卷.展開這些中考試卷不難發現，試題重視對學生發展必需的核心知識、基本技能的考查的同時，還注重對數學思考、解決問題能力和數學活動過程的考查.其中，圖形與幾何方面的綜合考題植根于圓的性質等知識的整合，以及平面幾何圖形的有關計算問題等方面.為此，本節內容選定為圓和圓的位置關系，從學習目標、知識再現和試題突破等環節進行教學，由激情四射的青年教師劉老師曬課.

二、課堂實錄

1.教師通過電子白板向學生展示學習的三維目標并解讀

（1）知識目標：通過相交兩圓、相切兩圓的復習，發展學生對概念與性質的認知能力；

（2）能力目標：通過相交兩圓、相切兩圓的性質探究，提升學生的讀圖能力和動手操作能力；

（3）情感與價值觀目標：體驗數學活動充滿著探究與創新，感受中考數學命題蘊含著科學的數學思想.

2.通過圖像展示，讓學生明確兩個圓的位置關系的概念，并進行展示

［電子白板展示］在圖1中，⊙O與⊙O′是什么位置關系？

⊙O與⊙O′的圓心連線OO′與公共弦AB是什么關系？

圖1

學生在紙上用圓規畫出兩個圓，尋找A、B兩點的關系.然后由生甲進行展示：

在圖中，⊙O與⊙O′的位置是相交關系；⊙O與⊙O′的圓心連線OO′與公共弦AB是垂直關系.如圖2.

師：建立下列概念并展示相關知識體系網絡（知識回顧），在學生再次重溫知識體系之后思考兩個圓相切的性質規律并進行討論交流.

圖2

圖3

學生分組討論并交流“當兩個圓相切時，切點一定在圓心的連線上”的證明過程.

師：通過上面的一些關系，你們可以發現兩個圓相交或相切時一般能作哪些輔助線？

（學生舉手回答）

生乙：兩圓相交時常常作的輔助線有：（1）兩圓的公共弦，（2）兩圓圓心的連線，（3）創設由半徑、公共弦的一半組成的直角三角形；兩圓相切時常引輔助線有：（1）公共切線，（2）兩圓圓心的連線，（3）創設由半徑的延長線、公共弦在內的直角三角形等.

3.通過電子白板展示例題

例題：如圖4，用半徑R=30mm、r=20mm的玻璃球測量一內直徑為d的圓柱形筆筒.測得玻璃球頂點與圓柱形筆筒口所在平面的距離分 別為a=20mm，b=60mm，則圓柱形筆筒的內直徑d是多少？

圖4

設計目的：通過身邊的常見文具創設問題情境，有利于激發學生探究的動力.本例題旨在讓學生認識兩圓相交常常作的第（3）種輔助線，“創設由半徑延長線、公共弦在內的直角三角形”.再用體現數形轉換數學思想的勾股定理來進行運算推理，從而達成幫助學生數學建模的目的.在課堂上，本例題是在教師的引導后學生自主探究完成的.最后由學生通過投影展示結果：

在圖中作輔助線，如圖5，創設直角△O1O2A.

則斜邊O1O2=R+r=50（mm），直角邊O2A=r+b-a-R=30（mm）.

根據勾股定理，另一條直角邊O1A=40mm.

故d=40+R+r=90（cm）.

圖5

3.通過導學案分組做課堂練習

習題1：（江蘇南京）如圖6，⊙O1、⊙O2的圓心O1、O2均在直線l上，⊙O1的半徑為2cm，⊙O2的半徑為3cm，O1O2=8cm.圓O1以1cm/s的速度沿直線l向右運動，7s后停止運動，在此過程中，圓O1與圓O2沒有出現的位置關系是（ ）.

A.外切 B.相交 C.內切 D.內含

圖6

選題目的：旨在讓學生理解兩個圓的關系：外切、相交、內切、內含.而這些關系需要學生通過兩個圓心的距離進行判斷.

習題2：（江蘇南通）如圖7，三個半圓依次相外切，它們的圓心都在x軸上，并與直線相切.設三個半圓O1、O2和O3的半徑依次為r1、r2和r3，則當r1=2時，r3是多少？

選題目的：旨在讓學生靈活運用相切圓和圓的相切直線的關系，通過相似三角形或勾股定理解決數學問題.試題涵蓋了一次函數的性質、相切圓的性質，讓學生通過一次函數的解析式得出直線與x軸的夾角是30°，可以通過作輔助線“三個圓與直線的切點分別與各圓心的連線”，組成三個直角三角形，再進行推理計算.

圖7

圖8

習題3：（江蘇泰安）如圖8，AB、CD是⊙O的兩條互相垂直的直徑，點O1、O2、O3、O4分別是OA、OB、OC、OD的中點，若⊙O的半徑為2，則陰影部分的面積為（ ）.

A.8 B.4 C.4π+4 D.4π-4

選題目的：通過圓與圓相交的位置關系，和相關扇形面積的計算，培養學生的數形轉換思想，培養學生能夠根據已知條件推斷正方形內空白面積的建模能力.由扇形COB中兩空白面積相等，思考陰影部分面積.在建模過程中，要強化輔助線的作法，讓學生在解題過程中熟悉如圖9所示的方法.

圖9

三、課后打磨

本課是圓和圓的位置關系復習課.在教學過程中，教師注重對學生參與數學活動的潛力和自信心的挖掘，培養學生合作交流的意識，以及獨立思考的習慣，在針對性較強的中考試題的引領下，讓學生瞄準中考考向，是一節符合學生心理發展的示范課.

教師能夠及時發現問題、引導學生解決問題，從而進行正向評價，尤其是對學生出現的獨特的想法或結論給予鼓勵性評價，讓學生信心滿滿，積極參與探究活動.

本節課是建立在激勵學生學習興趣的基礎之上的，以促進學生思維發展為目的，更多體現新課程的三維目標.

本課美中不足的是所選試題過于經典，都來自5年前的江蘇省試題，而近年來的試題學生基本上已經練習過，建議備課組在近年來江蘇省之外的中考試題中選取，這樣更能拓寬學生的視野，培養學科素養.F