以靜制動，動靜結合，合理化歸，解決問題──“動圓問題”教學策略的實踐與探究

☉江蘇省張家港市梁豐初級中學 許凌燕

靜非不動的意思，靜和動只是相對而言.“動”中求“靜”，“動”“靜”結合，是解決幾何圖形中有關動點問題的常用方法.“動圓問題”作為中考的常見題型，是一個難點，題目的信息量較大，圖形結構復雜，需要結合數形結合思想、空間想象和化歸思想來研究圖形的變化，其實數學中有關“動態”問題都有通用的解決方法：以“靜”制“動”，找到“臨界狀態”，利用靜態圖形，尋找到合理的代數關系式、數量關系解決問題.基于動點問題在中考中的地位，著眼于中考命題改革的方向，根據學生對動點問題的掌握和學習情況，筆者精心準備了一節圓的專題復習課“動圓問題”，教學重點是遇到動點問題時如何以“靜”制“動”，對“動圓問題”在思想方法上進行總結提煉，主要圍繞探究直線（線段、射線）和圓的位置關系中的相切，揭示問題的本質，讓學生在探究過程中領悟解決此類問題的一般方法.

本節“動圓問題”的專題課，整體分為三個模塊，逐步遞進，螺旋上升.課堂教學主要圍繞學生個人展評、自主探究和小組合作交流等方式展開.

一、引例探究，初步領悟

引例是筆者自己編制的題目，難度不大，但是涵蓋了直線（線段、射線）和圓的位置關系中相切的動圓問題的三類基本題型.基于學校的“自主展評式”課堂教學模式，首先布置學生回家預習引例部分.新課伊始，由三名學生依次當起“小老師”，手持教鞭，上臺講解（利用實物投影儀投影解題過程）自己的思路.

引例：如圖1，∠ACB=30°，D是邊AC上一點，CD=10cm.

（1）以點D為圓心、2cm為半徑作⊙D，若⊙D以1cm/秒的速度沿直線AC向左運動，

①運動多少秒后，⊙D與邊CB相切？

②運動多少秒后，⊙D與直線CB相切？

（2）以點D為圓心、1cm為半徑作⊙D，若⊙D的半徑以1cm/秒的速度擴大，問：經過多少秒后，⊙D與邊CB相切？

圖1

（3）以點D為圓心、1cm為半徑作⊙D，若⊙D的半徑以1cm/秒的速度擴大，同時⊙D以2cm/秒的速度沿直線AC向左運動，問：經過多少秒后，⊙D與邊CB相切？

（1）①學生展示：

生1：將圓心D向左運動直至⊙D1和射線CB相切，假設切點為E1（如圖2）.

在Rt△CD1E1中，D1E1=2，sin ∠E1CD1=，所以CD1=4，DD1=6，所以t=6s.

圖2

圖3

（1）②學生展示：

第②問是和直線CB相切，①是情況之一，情況之二是圓心D繼續往左運動越過點C直至⊙D2與直線BC相切，假設切點為E2（如圖3）.

在Rt△CD2E2中，D2E2=2，sin∠E2CD2=，所以CD2=4，DD2=14，所以，t=14s.

綜上所述，t=6s或t=14s時，⊙D與邊CB相切.

師：還有“小老師”來解決這個問題嗎？

生2：我開始時第②問不會，聽了他的解答，我發現點D1和D2關于C點對稱，這樣算起來更容易.

師：這位同學說得非常好，我們要善于利用圖形的性質.

（2）學生展示：

生3：⊙D的位置不動，半徑逐漸變大至與邊CB相切，設切點為F（如圖4）.

在Rt△CDF中，CD=10，∠ACB=30°，所以ED=CD·sin30°=5，從而t=4s.

（3）學生展示：

生4：當⊙D向左運動的過程中，假設圓心D運動至點D3時，⊙D3與邊CB相切，設切點為G（如圖5）.

圖4

圖5

在Rt△CD3G中，CD3=10-2t，D3G=1+t，∠ACB=30°，所以10-2t=2（1+t），解得t=2s.

教學設計意圖：引例是將圓的動點問題放置在幾何圖形——角的背景下，研究動圓和射線、直線相切的位置關系，由學生講解，將動圓的實質性問題做了剖析和歸納.圓的動態過程可以分為三類，決定元素是圓心和半徑，一位置變，大小不變；二位置不變，大小變；三位置變，大小也變.解決問題的策略是：利用勾股定理、三角函數等知識點，建立方程或數量關系.輔助工具：圖像，主要構造出臨界位置時的靜態圖像，其實也是運動過程分解圖.思想方法：方程思想、分類討論思想、數形結合思想.和學生一起歸納梳理的過程中，學生發現對于相切問題，最后的靜態圖像都是圍繞以切點和圓心為端點的線段構成的直角三角形來展開研究的，這點對于處于摸索階段的學生很有幫助，也是“點睛”之筆.以“靜”制“動”，找到“臨界狀態”，利用靜態圖形中的數量關系解決問題.

二、典題實踐，自主提升

進行了引例探究教學后，進入教學實踐環節，筆者選取了一道“動圓和菱形結合在一起”的中考題進行改編，原題的第（2）問為：“以P為圓心、PQ的長為半徑作圓，請問：在整個運動過程中，t為怎樣的值時，⊙P與邊BC分別有1個公共點和2個公共點？”顯然與本節課的相切主題不太契合，故做了修改：以P為圓心、PQ的長為半徑作圓，在整個運動過程中，t為怎樣的值時，⊙P與邊BC第一次有1個公共點？同時本題采用的教學形式是學生自主探究，考查學生能否將前面總結的方法學以致用，進一步提升了學生的思維能力.

例1如圖6，菱形ABCD的邊長為2cm，∠DAB=60°.點P從點A出發，以cm/s的速度，沿AC向點C作勻速運動；與此同時，點Q也從點A出發，以1cm/s的速度，沿射線AB作勻速運動.當點P運動到點C時，點P、Q都停止運動.設點P運動的時間為ts.

圖6

（1）當點P異于點A、C時，請說明PQ∥BC；

（2）以點P為圓心、PQ的長為半徑作圓，在整個運動過程中，t為怎樣的值時，⊙P與邊BC第一次有1個公共點？

對于此題的（1）這里不分析，學生在思考了一定時間以后，上臺展示自己的探索成果，生5將圖像投影出來，出現了意想不到的狀況，她畫的⊙P此時與邊BC相切，說明她領悟到題中將“⊙P與邊BC第一次有1個公共點”轉為“⊙P邊BC相切”，但是她呈現的圖像⊙P與邊AB也相切了，生6馬上站起來否定了生5的結論，并闡述了他的觀點：

生6：若⊙P與邊AB相切，則PQ⊥AB，由第（1）問的結論知道PQ∥BC，則可以得出∠AQP=∠ABC=90°，而由菱形的性質可知∠ABC=120°，所以⊙P與邊AB不相切.圖像應該改為這樣（如圖7）.易證△APQ為等腰三角形，所以AQ=PQ=r=t，CP=2-t. 在Rt△CPR中，∠PCR=30°，所以PR=t.再利用PR=PQ，可得t=t，解得t=4-6.

圖7

教學設計意圖：通過本題的研究，讓學生在較為復雜的幾何背景下，自主探究“動圓問題”.學生初探時只研究出⊙P與邊BC相切，沒有研究清楚⊙P與邊AB的位置關系，這是正常現象，學生對于運動圖像的整體分析和把握能力還是有欠缺的.通過此題，學生發現動態問題的輔助工具圖形的重要性，而且體會到能準確、恰當、合理、簡潔地畫出臨界的靜態圖像的重要性.

三、拓展延伸，活學活用

拓展延伸環節，筆者提高了題目的難度，也是采用的中考題改編題，主要考查在平面直角坐標系背景下的動圓和矩形相結合問題，題中切線也發生了變化，對學生的分類討論、空間想象、直覺思維，提出了更高的要求，同時讓學生體會利用好圖形的特性，如特殊角、特殊圖形、圖形的特殊位置等，在解決動圓問題中的作用.

例2如圖8，點A（-5，0）、B（-3，0），點C在y軸的正半軸上 ，∠CBO=45°，CD ∥AB，∠CDA=90°.點P從點Q（4，0）出發，沿x軸向左以每秒1個單位長度的速度運動，運動時間為t秒.以點P為圓心、PC的長為半徑作⊙P，⊙P的大小隨著點P的運動而變化.當⊙P與四邊形ABCD的邊（或邊所在的直線）相切時，求t的值.

師：在變化的過程中，⊙P先與四邊形ABCD的哪條邊相切？

生：邊DC（邊BC）.

師：究竟是哪一條呢？邊DC、邊BC與⊙P都有一個公共點C，則點C就是切點，半徑CP就是與切線垂直的半徑，那么，你們看看在點P從點Q（4，0）出發的過程中，半徑CP和誰先垂直呢？下面請六個小組分別進行討論，給出這道題的完整答案.

圖8

……

小組1代表：我們小組研究的結果是先和邊BC相切，再和邊CD相切，最后與邊AD相切.

①⊙P與邊BC相切時（如圖9），∠PCB=90°，則∠PCO=45°，OP=3，可得t=1.

圖9

圖10

②⊙P與邊CD相切時（如圖10），PC⊥CD，P和O重合，t=4.

③⊙P與邊AD相切時（如圖11），AP=PC，（9-t）2=（t-4）2+32，可得t=5.6.

綜上，t的值為1、4或5.6.

教學設計意圖：本拓展研究題有難度，大多數學生在自主探究時會存在一定的困難，故先由教師提出問題引導學生合理探究，再采用小組合作的方式探究完成.通過本題的研究，學生的分類討論意識更強，對于如何分類更加清楚了，學生的數學思維、邏輯推理能力和分析問題并解決問題的能力有了很大的提升.

圖11

四、領悟方法，反思策略

筆者通過這節課的設計和課堂教學實踐，厘清了“動圓問題”的有關教學策略.“動圓問題”作為動態幾何題的一個點，表象是滲透運動變化的試題，探究其實質，揭示了“一般”和“特殊”、“運動”和“靜止”的內在聯系，通過課堂實踐，讓學生體會它們之間的相互聯系和轉化，知道如何讓運動著的點在特殊位置或特殊時刻靜止下來，達到“以不變應萬變”之效.在中考中，壓軸題的創新性越發顯著，“動圓問題”也成為創新題型的重要對象，對學生的創新意識和創新能力提出了更高的要求.所以更需要一線教師通過教學實踐，讓學生經歷觀察、想象、推理等探究過程，善于發現動點的運動規律，以及其中包含的一些特殊圖形的幾何特征，化動為靜，抓住臨界的狀態，從一般到特殊，合理作圖，理性分類，解決問題.

1.以動制靜，尋求突破

學生的困惑在于尋找“動”中之“靜”，不能抓住“分界點”畫出臨界圖像加以剖析.所以在“動態”問題中，引導學生尋找有價值的“靜態元素”顯得尤為重要.結合教師引導，學生自主探究、合作交流等不同的途徑，讓學生經歷認知的沖突，經歷想象、推理、動手實踐的過程，將外在的理解轉化為內在的領悟，突破自我，實現“動態”問題探究的第一個突破口——作出臨界圖像.

2.合理分析，用好背景

幾何動態問題，必定會置于一定的特殊幾何背景（特殊角、特殊四邊形、圖形的特殊位置關系）中，在例題的設置上，筆者從角、菱形、矩形到平面直角坐標系，引導學生善于利用好特殊幾何圖形的性質和位置關系，如切線和過切點的半徑形成的直角三角形等，建立數量關系，從而解決問題.

3.領悟方法，感受魅力

本節課的教學過程中，筆者注重引導學生利用數形結合思想，從“形”的直觀切入，到“數”的理性分析，體驗了用平時所學的坐標、方程、解直角三角形及三角函數等知識服務于動圓和直線的相切問題，讓學生經歷了“幾何問題”到“代數問題”再回歸“幾何問題”的轉化過程，感知轉化的具體應用.追悟方法，原來數形結合就是“數”和“形”雙向轉化，思維在兩者之間相互切換，尋求突破信息，使得整個解題的過程呈螺旋式上升，增強了數學思維的轉換能力.

4.適度拓展，彰顯本質

通過題目適度的對比（如引例（1）中邊BC和直線BC）、追問、拓展等，激發了學生的求知欲，拓寬了學生的視野，豐富了學生的認知，引導學生追尋“動圓問題”的本質，開啟思維探究的旅程.只有感知、領悟了數學的本質，才能自如地運用好所學的知識點，才能把握好數學思想方法的運用，才能領會數學的魅力，促進學生學科素養的提升.

毋庸諱言，通過對“動圓問題”的探究，運用“以靜制動”的教學思想，將動態的數學問題有效轉化為靜態問題進行處理，不失為破解動態問題的關鍵途徑，對學生今后繼續學習數學，尤其是逐步樹立方程思想、分類討論思想、數學結合思想起著良好的鋪墊作用，同時為學生高中的數學學習，特別是動態幾何題的學習打下了堅實基礎.