多尺度結構拓撲優化

(華南理工大學土木與交通學院 廣東 廣州 510000)

一、介紹

(一)復合材料

復合材料在古代就已經被人們所使用。古代人建造房屋使用的稻草或麥秸增強粘土，近一百來，人類使用的鋼筋混凝土就是用多種材料復合而成的。在20世紀40年代，由于航空工業的發展需要，玻璃纖維增強塑料(俗稱玻璃鋼)得到了發展，從此復合材料這一名稱得以出現。在結構形式方面，周期性復合材料具有周期性排布的特點，并且通常具有多孔的結構形式；在力學性能方面，周期性復合材料結構具有優異的高比剛度、高比強度和優良的減震性等力學性能。

(二)結構拓撲優化

結構優化可分為三種：尺寸優化、形狀優化和拓撲優化[1]。與尺寸優化和形狀優化相比，拓撲優化被認為是一種更高層次的優化設計方法，是在結構減重和性能設計中最為有效的工具之一[2]。

結構拓撲優化最早應用于桁架等離散體結構的研究[3]，之后越來越多的學者開始進行連續體結構的拓撲優化。變密度法、均勻化方法、水平集方法和BESO方法是常用的連續體結構拓撲優化方法。

(三)多尺度結構拓撲優化

目前的拓撲優化研究大多集中在單尺度結構的設計上，即在優化設計中認為結構是由均勻的材料制成的。在傳統的結構設計中，認為復合材料也是均勻的，但不可否認的是，復合材料各微觀組成相的力學性能、幾何形狀以及各成分之間的裝配方式等同樣也會對結構性能產生較大影響。

材料微結構可以被看作是由實體材料和孔隙組成的復合材料，而它的性質也取決于材料在空間中的分布方式。近年來，隨著多尺度漸進展開均勻化理論的發展，人們可以通過拓撲優化的方式獲得具有特殊功能特性的材料微結構。

二、基于能量的均勻化方法

在拓撲優化設計中，考慮復合材料是具有規則的或近似規則的結構，因此假定其是由代表性微結構周期排列而成的。均勻化方法是常見的用來研究周期性復合材料結構等效力學性能的方法。近年來，研究人員結合均勻化理論采用多尺度有限元方法對周期性、擬周期性復合材料以及周期性孔洞結構的彈性性能[4-5]進行了研究。

假定將宏觀非均質的結構模型看作是細觀尺度上微結構的周期性重復組合，設x表示復合材料宏觀全局變量，y為細觀局部變量，y=x/，根據漸進展開均勻化理論，宏觀位移場u(x)按參數漸進展開[2]：

u(x)=u0(x,y)+u0(x,y)+2u0(x,y)…,y=x/

(1)

如果只考慮(1)中漸進展開第一項，通過對基礎單胞Y上的積分取平均，得到均勻化剛度張量：

(2)

ε0={ε0(11)ε0(22)ε0(12)}=I(3×3)

(3)

一般三維問題：

ε0={ε0(11)ε0(22)ε0(33)ε0(23)ε0(31)ε0(12)}=I(6×6)

(4)

(5)

(6)

將單胞離散為N個單元，上式可以被近似表達為：

(7)

三、材料宏微觀多尺度優化設計

優化問題描述及建模：設在宏觀尺度，將結構離散為m個單元，并且假設每一個單元包含一個微結構單胞，在微觀結構尺度，單胞又被劃分為n個單元，如果以材料微結構單元密度y作為設計變量，那么整個模型一共有m×n個設計變量，如果把宏觀結構剛度最大設置為優化目標，那么宏觀結構性能與微結構構型之間的表征關系對應在兩個尺度上關聯的優化模型可以表示為：

min:c(y)=fTu

材料宏微觀分布多尺度優化設計整體優化流程如下：

(1)求解微結構優化子問題。

(2)經優化后得到的微結構密度變量帶入均勻化方程中計算該單元的等效彈性張量。

(3)將等效彈性張量帶入宏觀結構中計算宏觀結構位移響應。

(4)將(3)求解得到的新宏觀位移場帶入子問題，優化微結構構型。

(5)判斷是否收斂，如果不收斂，重復(1)-(4)，以此類推。