探究一道題的多種解法

張 波

(黑龍江省哈爾濱市第一二二中學 150040)

題目設x、y是實數，且x2+xy+y2=1，求p=-x2+xy-y2的取值范圍.

由條件x2+xy+y2=1知x與y不能同時為零.

(1)當x與y中有一個為零，另一個不為零時，顯然p=-1.

點評本解法的關節點是對x與y符號的討論，這是因為x2+y2≥2xy取等號與x2+y2≥-2xy取等號時，x與y的符號條件不一樣.

解法3(判別式法)由

x2+xy+y2=1?p(x2+xy+y2)=p=-x2+xy-y2?(p+1)x2+(p-1)xy+(p+1)y2=0.

(1)當p+1=0，即p=-1時，x=0,y=±1，符合題意.

點評本解法中要注意兩個易錯點：①討論后明確了y≠0，才能化得方程(*)；②對方程(*)應用判別式的前提是一元二次方程，因此要考慮二次項系數p+1是否為零.

點評本解法逆用韋達定理，根據導出的x+y,xy的表達式構造出一元二次方程，再利用判別式輕松獲解.但應注意解題中隱含條件p≥-3，才能使解題過程嚴謹無誤.

解法5(利用非負數)

點評本解法中要注意構造非負數的兩種形式，若只考慮到非負數的一種形式，將導致以偏概全的錯誤產生.

解法6(引入等差數列)

點評本解法中引入了公差d，從而簡化了p的表達式，只需確定d的取值范圍，就可獲得答案.

解法7(施行三角代換)

點評本解法思路常規，做出的三角代換也很自然，但三角運算較復雜，需要具有一定的三角變換功底.

解法8(利用齊次分式)

點評對于二次齊次型的分式，都可以用上述方法化為三角分式的形式，特別當x2與y2的系數相同時，所化得的式子更為簡單.

在進行高考數學專題復習時，為避免題海戰術，教師應選擇典型題目，進行一題多解的深入探究，鼓勵學生廣開思路，不斷挖掘，就會探索出多種新穎而富于創造性的解題思路.這對于活躍課堂教學氛圍，開發學生智力，提高復習效果大為有益.這完全符合新課標所倡導的提升學生素養、培養創新型人才的教學理念.