類比出新意
——由倒序相加想到倒序相乘

劉 高

(甘肅省武威第六中學 733000)

《普通高中數學課程標準》(實驗)把培養學生的類比推理能力作為培養目標之一.近幾年全國各省市出現了類比思維的問題，這是一些思路開闊，情景新穎的創新題型，它們往往以問題為中心，不拘泥于具體的知識點，將數學知識，方法和原理融為一體，突出對數學思想方法的考查，體現數學的思維價值.在數學教學中，通過類比推理可尋求解決問題的方法和途徑，從而培養學生的發散思維及合情推理的能力.

在數列一章的學習中類比的思想貫穿于其中.例如等差數列和等比數列無論是通項公式還是其它性質都有許多類似的特點.在學習的時候只要我們認真研究其特征，靈活應用，就一定能推陳出新.如由“倒序相加”聯想到“倒序相乘”使得問題順利解決就是一種常見的類比方法，現分析如下:

命題1若數列{an}為等差數列，Sn是其前n和，則有，

S2n=n(a1+a2n)=n(a2+a2n-1)=…=n(an+an+1) ①，

S2n-1=(2n-1)an②.

對于②式有以下兩種推導方法：

證明(法一)S2n-1=a1+a2+a3+…+an+…+a2n-3+a2n-2+a2n-1.

如上所示a1和a2n-1相結合,a2和a2n-2相結合等等,這樣共有n-1對結合，之后還余中間項an.而每對結合都等于2an即：

a1+a2n-1=a2+a2n-2=…=an-1+an+1=2an,

所以有S2n-1=(2n-1)an.

但這種解法對一部分學生來說還有困難，若采用下列推導法就會使問題變的容易理解.

(法二)(倒序相加)

S2n-1=a1+a2+a3+…+an+…+a2n-3+a2n-2+a2n-1①,

S2n-1=a2n-1+a2n-2+a2n-3+…+an+…+a3+a2+a1②.

由①+②得2S2n-1=2(2n-1)an,所以S2n-1=(2n-1)an.

通過類比可得到如下結論：

命題2 若數列{bn}為正項等比數列，Tn是其前n項積，則有T2n-1=(bn)2n-1.(類似于性質1中的②式)

證明(倒序相乘)

T2n-1=b1·b2·b3·…·bn·…·b2n-3·b2n-2·b2n-1①,

T2n-1=b2n-1·b2n-2·b2n-3·…·bn·…·b3·b2·b1②.

由①×②得(T2n-1)2=(bn)2(2n-1),

所以T2n-1=(bn)2n-1.

反思求Tn時若不知n的奇偶性就需討論n為奇數和n為偶數兩種情況來求解，如果采用倒序相乘就避免討論.

舉例如下：

Sn為數列{an}前n項的和，求Sn.

由①②得2an=n+1,

例2已知等比數列{an}滿足an>0(n=1,2,…)且a5·a2n-5=22n(n≥3)，則當n≥1時求 log2a1+log2a3+…+log2a2n-1的值.

解log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=log2(a1·a3·…·a2n-1).

令Tn=a1·a3·…·a2n-1①,

Tn=a2n-1·a2n-3·…·a1②,

由①×② 得(Tn)2=(a1·a2n-1)·(a3·a2n-3)·…·(a2n-1·a1)=(a5·a2n-5)n=(22n)n,

∴Tn=2n2.則log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=log2Tn=log22n2=n2.

反思由例1的“倒序相加”類比出例2的“倒序相乘”使得問題得以順利解決.

類比是一種很重要的科學方法.在平時教學中只要肯東腦筋不斷對舊知識進行類比探究，推陳出新，我們的教學就一定會收到事半功倍的效果.