問題引領思維 探究演繹精彩
——含全稱、存在量詞的函數題的教學與思考

王友春

(江蘇省揚州市邗江區蔣王中學 225126)

數學教學是數學思維活動的教學，而問題是引發學生思維與探究活動的向導，是學生課堂學習活動的載體，是有效地激發學生的好奇心和求知欲的催化劑.通過問題，能使知識的邏輯結構與學生的思維過程有機地聯系起來，能使知識的邏輯結構轉化為學生的認知結構，能使學生主動探究發現數學的內在規律、認識與理解數學的本質.因此，在數學教學尤其是習題探究課的教學中，要注重問題設計的系統性、層次性和探究性，順應學生思維發展的規律，讓學生在“問題串”的引領下自主學習，激發其探究的積極性和能動性.

下文是筆者結合自己的一次教學實踐，通過對出現在函數題中含全稱、存在量詞的一系列問題(問題串)的分析、探究，以期提高學生的思維能力、探究能力和課堂實效.

一、問題的引入

問題1已知函數f(x)=x-lnx,g(x)=x2-2ax,a∈R,命題“?x∈[1,e]，f(x)≤g(x)成立”是真命題，求實數a的范圍.

∴a≤1.

評注1.對于含參數a的不等式f(x)≤g(x)恒成立問題，可實施“分離變量”轉化為a≤h(x)恒成立，進而使a≤hmin(x)；也可轉化為f(x)-g(x)≤0恒成立，進而使[f(x)-g(x)]max≤0. 2.為了更好地培養學生的探究能力，由此題為引例，筆者設計了下面的一串問題，力求讓學生“學一題，觸一類，通一片”，演繹一次生動的習題探究課.

二、拓展與探究

問題2 若f(x)=x-lnx,g(x)=x2-2ax,a∈R,命題“?x0∈[1,e]，使得f(x0)≤g(x0)成立”是真命題，求實數a的范圍.

探究同問題1的分析，可對f(x)≤g(x)實行“分離變量”，同樣轉化為利用導數求新函數的最值問題.

評注1.對于含參數a不等式f(x)≤g(x)能成立問題，實施“分離變量”轉化為a≤h(x)能成立，進而使a≤hmax(x)；也可轉化為“f(x)-g(x)≤0能成立”，即使得[f(x)-g(x)]min≤0. 2.問題2是在問題1的基礎上將“全稱命題”變為“存在性命題”，若將命題中的兩個自變量區別開，即f(x1)和g(x2)，就產生了下面的問題3.

問題3 若f(x)=x-lnx,g(x)=x2-2ax，a>0，求證：?x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2).

探究只要證fmax(x1)≥gmin(x2)，x1,x2∈[1,2]，所以只要求出fmax(x1)和gmin(x2)，即得關于a的不等式.

評注1.對于含兩個存在量詞的命題：“?x1∈M,?x2∈N，使得f(x1)≥g(x2)成立”，不同于問題1和2，兩個變量之間沒有必然聯系，需將其轉化為兩個“存在能成立”問題逐個解決，即假設x1∈M,x2∈N時f(x1)和g(x2)的值域分別為A、B，若原命題是真命題，即在A、B中分別有一個元素a、b，使得a≥b即可，故只要“fmax(x1)≥gmin(x2)”即可！2.問題3的否定：“?x1,x2∈[1,2]，f(x1)

問題4 若f(x)=x-lnx,g(x)=x2-2ax(a>0),命題“?x1,x2∈[1,2]，f(x1)≥g(x2)成立”是真命題，求a的范圍.____

探究這一恒成立問題只需fmin(x1)≥gmax(x2)，故求fmin(x1)和gmax(x2)后得到關于a的不等式求解即可.

評注1.對于含兩個全稱量詞的命題：“?x1∈M,?x2∈N，使得f(x1)≥g(x2)成立”， 同樣不同于問題1和問題2，兩個變量之間沒有必然的聯系，故類似問題3假設x1∈M,x2∈N時f(x1)和g(x2)的值域分別為A、B，在A、B中各任取一個元素a、b，有a≥b恒成立，只要“fmin(x1)≥gmax(x2)”即可.2.如果此問題中的兩個量詞分別是?和?，而且兩個變量的范圍也不同，則可設計出下面的問題5.

問題5 若f(x)=x-lnx,g(x)=x2-2ax(a>0),命題“對?x1∈[1,e]，均?x2∈[1,2]，使得f(x1)

探究原命題?fmax(x1)

評注1.對于含兩個不同量詞的命題“?x1∈M，?x2∈N，使得f(x1)

問題6 若f(x)=x-lnx,g(x)=x2-2ax(a>0),命題“對?x1∈[1,e]，總?x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)成立”是真命題，求實數a的范圍.

探究原命題?“f(x)在[1,e]上的值域為A，g(x)在[1,2]上的值域為B，滿足A?B”，故先求兩個函數的值域A和B，再由A?B得到關于a的范圍的不等式求解即可.

評注1.對于含兩個不同量詞的命題“?x1∈M,，?x2∈N，使得f(x1)=g(x2)成立”，可轉化為“x1∈M，x2∈N時f(x1)和g(x2)和值域分別為A、B滿足A?B”，從而將“?,?,使得”型方程問題轉化為集合的運算問題，使解題過程巧妙簡化. 2，若將問題6命題中的兩個量詞都改為“?”，則可設計如下的問題7.

問題7 若f(x)=x-lnx,g(x)=x2-2ax(a>0),命題“?x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)成立”，求實數a的范圍.

探究原命題?“函數f(x)和g(x)在[1,2]上的值域分別為A、B，且A∩B≠?”，故先求出兩個函數的值域A和B，由“A∩B=?”得到a的取值范圍后再求其在(0,+)內的補集即可.

評注1.對于含兩個存在量詞的命題“?x1∈M，?x2∈N，使得f(x1)=g(x2)成立”，?“函數f(x)和g(x)在[1,2]上的值域分別為A、B滿足A∩B≠?”，從而將問題轉化為先求A∩B=?時a的取值范圍，再求補集的思路. 2.這一問題求解同上面問題3的“評注”中所述，也運用了“正難則反”的思想方法對問題實行了有效地轉化.

三、總結與反思

后6個問題由“問題1”為源頭并基于學生的“最近發展區”進行引申與拓展，巧設“問題串”給出了函數題中含全稱、存在量詞的命題的常見類型及其轉化方法，使數學問題呈現出“一題多解、一題多變、多題同解”或分層遞進，體現出分類討論和等價轉化等數學思想與方法，讓復雜的問題得以有效地解決.如問題3和7，在分類討論的思想基礎上學生都能想到，但為了優化問題的解決，引導學生采用“正難則反”即“求簡變通”的思想，并留時間讓學生親自操作，提高實效.“真正有教育智慧的人，會把復雜的東西教得簡單，會把簡單的東西教的有深度有厚度”，真正有智慧的數學課也正是要于簡約中蘊含深刻，于樸素中綻放思想，于細微中展現機智，要讓學生通過自主學習和合作探究能達到“會一題、通一類”的效果，實現從“學會”到“會學”轉變，要能透過現象看實質、把握規律，大方無隅、大道無形地演繹精彩，實現高中數學教學的指導思想和根本目標.