探究高考真題 培養數學素養
——2018高考試題在高三復習中的教學運用

陶新芝

(江蘇省昆山中學 215300)

一、教學實踐

(2018年高考數學江蘇卷第13題)在△ABC中,角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分線交AC于點D,且BD=1,則4a+c的最小值為____.

教師：求二元變量最值有哪些方法？

學生1：選擇參數表示4a+c,轉化為求函數最值.

學生2：先建立a,c的等量關系，再求最值，比如考慮用基本不等式或消元構建函數.

教師：兩位同學提出的想法，為我們指明了思考的方向.大家不妨先用學生1的方案求解.(先獨立思考，再分組討論，梳理過程.教師投影)

教師：以上三種解法選用不同的參數表示4a+c，都算出了正確答案，大家也體會到了運算量還是比較大的.解法2和解法3都是從建系的角度入手，但是計算的煩瑣程度卻不同，大家對比兩種解法，思考一下對我們今后解題有什么啟示.

學生3：建系時，要考慮圖形的對稱性；求解最值時，觀察解析式的結構特征，選擇合適的方法.

教師：總結得很好.除了利用函數思想，學生2提出利用a,c的等量關系求4a+c最小值，請大家嘗試一下.

學生4：在△ABC,△ABD,△BCD中分別使用余弦定理，利用等式AC=AD+DC,得

教師：以上四位同學抓住A,C,D三點共線和BD為角∠ABC的平分線，結合解三角形或平面幾何相關知識建立了a,c的等量關系，其中學生6、學生7和學生8的解法看起來都比較簡捷.大家還有其他方法嗎？(學生表示想不到其他方法了)

教師：我們在前面的學習中知道，可以利用向量刻劃三點共線和角平分線，能否利用向量知識得到a,c的等量關系呢？請分組交流探究解決思路.

教師：笛卡爾有句名言：“我解決過的每一個問題都成為日后用于解決其他問題的法則.”這句話在講積累解題經驗的重要性.通過對這道高考題的探究，大家學到了什么？

學生9：解決二元最值問題的常用方法，可以選擇參數建立函數，也可以利用基本不等式.解題時遇到三點共線時，除了利用解三角形和平面幾何知識解題，還可以利用向量知識解題.

教師：總結得很到位.從解題思想上來說主要用了函數、轉化與化歸、數形結合等數學思想.同學們進一步思考一下，如果改變題目的條件，可以提出那些問題呢？

學生10：把BD為∠ABC的角平分線，改為BD為中線或者改為BD為高線，求4a+c的最小值.

教師：很好，由三角形角平分線，聯想到中線和高，對題目進行改編. 改編的新問題能否依據今天的解題經驗，選擇合適的方法解決呢？由于課堂時間限制，請大家課后思考給出解答，下節課我們展示大家的研究成果.

二、教學反思

1.培養數學素養，需要預設“好”題

高三復習課需要精選好題，把高考題引入課堂，有利于激發學生的研究興趣.本題背景熟悉、題面簡潔，表述通俗，且意圖清晰，給學生親切感，符合學生的認知規律.本題的素材來源于教材，在諸多基礎知識和基本方法的交匯處命制，兼顧基礎性和綜合性，能反映知識間的橫向和縱向聯系，從解三角形的視角入手，從建立平面直角坐標系以數輔形的視角入手，從平面幾何的視角入手，從平面向量的視角入手，均能得到問題的解題思路，有助于啟發學生思考，發散學生思維，提升數學思想方法運用的靈活性.

2.培養數學素養，需要把課堂還給學生

數學教學活動是數學學科素養培養的主要途徑.在數學課堂教學中要把發展學生思維，培養數學核心素養放在首位.教學過程中堅持以數學知識為載體，思想方法為依托，引導學生“用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界”.培養數學核心素養就要把課堂還給學生，引導啟發學生獨立思考，當個體自主探究出現障礙時，采用小組合作交流的方式使得學生的思想得到碰撞，讓數學課堂成為在思維碰撞中產生智慧火花的課堂. 據此本節課筆者預設問題情境，先給學生留出時間獨立思考，形成個人初步認識；再分組討論，師生共同交流探討；最后梳理大家的智慧，形成解題經驗.