淺談概率論的發展與應用

趙文軒

(山東省泰安第二中學 271000)

概率論是高中數學課程中重要的組成部分，涉及排列組合、概率公式、分布定律等知識，是高中數學中的重要模塊.但是一些同學對概率論的認識存在誤區，認為概率論僅為課本知識，沒有實際應用價值.實際上概率論在實際生活中有著廣泛應用，可以對不確定的問題進行量化，從而幫助人們做出科學決策.概率論的發展可以分為三個時期：以卡爾達諾、費馬、帕斯卡和惠更斯為代表的十七世紀中葉到1872年，被稱為“古典概率論”時期；從1872年到20世紀初，被稱為“分析概率”時期；1933年以后，被稱為“測度概率論”時期.

一、概率論簡述

我們生活的大千世界存在著諸多各形各色的事物現象與社會現象，從人類理性預知的角度看，其大致可以分為確定性現象與不確定現象.確定現象的問題較為簡單，比如“地球圍著太陽轉，月球圍著地球轉”等真理.與之對比，不確定現象較為復雜.不確定現象也稱為隨機現象，關于隨機現象是否具有規律性的問題是數學研究的熱點問題，這也催生了概率論的產生.因此，可以將概率論看作是通過數學視角研究隨機現象統計規律性的一門學科.

進入二十世紀，概率論作為一支活躍的、實用性強的隨機事件理論得以快速發展.起初概率論源于實際生活的需要，物理、通訊、管理等科學的發展需求加速了概率論的進一步研究.如今的概率論已經活躍在數學領域，其理論框架更加系統化，并作為數學問題分析工具得到了大范圍的推廣和應用，同時也在實踐中得到創新發展.

概率論在數學上有著嚴格的公理化定義，主要性質有三條：首先，使用在[0,1]之間的非負數衡量一個事件的概率值大小.當一個事件的發生概率為1時，該事件稱為必然事件；當一個事件發生的概率為0時，稱之為不可能事件.比如太陽東升西落為必然事件，那么發生概率為1；公雞下蛋為不可能事件，發生概率為0；擲一次骰子，擲得4點的事件可能發生，也可能不發生，那么其發生概率為0到1之間的某值.其次，有限個互斥事件的和事件發生的概率為各互斥事件發生概率的和.比如箱子里有紅、藍、黃、黑球各一個，從中任取一球，取到紅球的概率為1/4，取到藍球的概率也為1/4，取到紅球或藍球的概率則為取到紅球和取到藍球兩事件的概率之和，為1/2.最后，相互獨立的兩個事件發生的聯合概率等于各事件發生的概率乘積[2].比如甲和乙兩人分別從裝有4個球(紅、藍、黃、黑球各一個)任取一球，兩個人都取到紅球的概率為，甲取到紅球的概率乘以乙取到紅球的概率，即1/4×1/4=1/16.

二、概率論的發展歷程

概率論起源于保險行業，但對于概率論進行數學化的邏輯理論研究開始于賭博行業.如同新生嬰兒出生前的準備一樣，概率論的出現也是漫長準備期的成果.卡當的《論賭博》、伯努里的《猜度術》中提到的“伯努利定理”，便是大數定律(又稱大數法則，是指在一個隨機事件中，隨著試驗次數的增加，事件發生的頻率趨于一個穩定值)的雛形.概率論的發展可分為古典時期、初等發展時期、分析概率時期以及現代概率時期.

概率論研究者們普遍認為概率論早期研究始于十六世紀到十七世紀.如果更寬泛一些，甚至可以將十四世紀骰子、抽簽問題的出現可以視為概率論早期研究的形式.十七世紀，西方出現的文藝復興與工業革命為概率論的發展提供了大背景.工業蓬勃發展帶來的效率問題，航海業發展帶來的時間誤差問題，貿易業激增帶來的負債率、資產率等催生了概率論的出現.概率論是應實踐的需求而出現的，其中較為著名的是伽利略的對于物理實驗誤差問題的研究，他認為誤差問題可以作為隨機現象進行概率估算.這一階段是概率論發展的古典時期.

概率論的初等發展時期的代表人物是瑞士數學家雅各布·伯努利，他在這一時期的概率研究也建立在賭博問題之上，代表著作是1713年出版的《猜度術》，建立了第一個以數學理論為主要特征的概率論的極限定律，即著名的伯努利大數定律.這一理論的誕生為頻率數學抽象化理論研究奠定了基礎，也是研究等可能性問題的極其重要的鋪墊理論.

十九世紀，概率論的發展進入分析概率時期.在這一時期，俄國數學家切比雪夫以伯努利定理和泊松大數定理作為特例建立了關于獨立隨機變量序列的大數定律，并在此基礎上推廣出更為普遍的中心極限定理.十九世紀末期，概率論在統計物理等領域的實踐應用催生了對概率論基本概念與原理進行解釋的需求.與此同時，概率論古典發展時期中基本概念的矛盾之處也被進一步挖掘和放大.概率論理論進一步得到完善.

概率論真正的現代階段開始于二十世紀.社會生產發展迅速、科技進步日新月異推動了概率論的進一步發展，也出現了新的學科分支.概率論應用也遍布各個產業的方方面面.現代概率時期的研究重點是無數多隨機變量集合的隨機過程.這是以時間序列為研究維度、對數學思維的抽象化.大數定律和中心極限定理的應用范圍在馬爾可夫(俄羅斯數學家)的研究中得以推廣，成為現代概率論研究的基礎.

三、現代概率論的應用

概率論在生活中隨處可見，為物理學、生物學、信息論、經濟學、工程技術等學科提供了數學工具.本文以車險行業、生物遺傳學中的概率論應用進行說明.

1.在車險中的應用

雖然對于概率論進行數學化的邏輯理論研究開始于賭博行業，但概率論卻起源于保險行業.保險已經成為人們生活中保障人們生活質量的重要內容，以實際案例進行證明，比如小趙在某保險公司購買汽車保險，其中保險額最高為20萬元，在這險種中第三責任險需小趙支付1200元的保險費，那當購買這一險種的人數達到1000名時，保險公司在這一保險銷售中盈利40萬元的概率以及虧損概率是多少?這是需要對保險賠償金額及事故次數進行分析.如果每次事故需保險公司賠付5萬元，那么保險公司要獲得40萬元的利潤就必須保證將事故次數控制在16次以內，通過對被保險車輛的調查，發生事故的幾率一般為0.5%.通過計算可以得知保險公司盈利40萬元的概率為0.99998；發生虧損的概率為0.0000000068.可以看出保險公司普遍是盈利的.

2.在生物遺傳中的應用

概率論的誕生與發展為諸多學科提供了有效的數學模型，成為解決現實問題的有力工具.本文對概率的發展與應用作了淺要的研究，尤其對保險行業和生物遺傳的概率應用作了較為詳細的說明.由于專業知識比較深奧，專業性較強，所以有些工作做的還不是太深入，許多方面的研究還比較粗糙，這是作者今后要努力的方向.