抽象函數問題的教學反思

陳廣義

(內蒙古鄂爾多斯市鄂托克旗高級中學 016100)

抽象函數定義域問題一直是學生學習的難點，如何行之有效地解決此類問題是值得我們反思的.我所在的學校是基層學校，學生基礎比較差，如何在符合學情的情況下讓學生理解并掌握抽象函數定義域問題呢？我是這樣設計的：

問題1(2018·青島一模)已知函數f(x)的定義域為(-1,0)，則函數f(2x+1)的定義域是____.

設計目的：由學生討論并總結一般規律，符合特殊到一般認識規律.

甲同學：由已知得-1

再經過討論，大家認可乙同學答案.盡管學生聽懂了的解法，但是似乎理解上依然存在困惑.抽象函數通常指一類沒有給出具體解析式的函數,其概念是非常簡單的形式定義,學生理解有相當難度,很難準確揭示概念的本質屬性.為了讓學生了解數學本質，我們還要回歸函數的概念.一般地,設A、B是非空的數集,如果按照某種確定的對應關系f,使對于集合A中的每一個數x,在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應,那么就稱f:A→B為集合A到集合B的一個函數,其中x叫做自變量,x的取值范圍也就是集合A叫做函數的定義域.因此任何函數的定義域都是指自變量x的取值范圍.正是由于定義域中自變量x的首先變化，引起了函數值的變化，所以，函數的定義域確切地說是函數中首先變化的那個量的所有取值組成的集合.通過老師引導和學生討論.

追問：同學們回答都很好，哪位同學總結一下已知f(x)的定義域是[a，b]，求f(g(x))的定義域過程.

丁同學：可通過a≤g(x)≤b，求出x的取值范圍.

設計意圖:已知f(g(x))的定義域是[a，b]，求f(x)的定義域.

為了更好理解，我又引入一道題，希望在教學中可將抽象問題具體化，這樣更符合學生的思維發展過程.把求抽象函數定義域問題轉化求函數解析式問題中解決.

問題3：已知函數f(x2-1)=x4-2x2-1，求函數f(x)的解析式和定義域.

設計意圖:抽象問題具體化,便于學生理解.

解(配湊法)：∵x4-2x2-1=(x2-1)2-2，∴f(x2-1)=(x2-1)2-2，x2-1≥-1，即f(t)=t2-2，t≥-1.故f(x)=x2-1，x≥-1.

點評函數f(x2-1)=x4-2x2-1的定義域是(-∞,+∞)，t=x2-1的范圍是[-1,+∞)，而函數f(x)=x2-1中的x相當于函數f(x2-1)=x4-2x2-1中的x2-1，所以x的范圍是[-1,+∞)，即定義域是[-1,+∞).

追問：把題目變式為“已知函數f(x2-1)的定義域為(-∞,+∞)，求函數f(x)的定義域.”有了上面有具體解析式的函數的鋪墊，學生隨口而出.

接著在解決問題二就相對容易了，讓學生板演.

問題4:題1改為求函數g(x)=f(2x+1)+f(3x+1)的定義域．

設計意圖:抽象函數定義域問題逐步滲透，加深對函數的理解與應用.

追問：同學們作的都很好，哪位同學總結一下已知f(g(x))的定義域是[a，b]，求f(x)的定義域過程？

戊同學：可由x∈[a，b]，求g(x)的范圍(即y=g(x)的值域).

反思：老師在課堂上一味地灌輸，學生死記硬背.這種“填鴨式”的教學與“機械模仿式”的練習，顯然學生的能力是不可能提高的.要改變這種狀況，教師就需要改進教學方法，努力實行啟發式教學法、自主探究式教學法、生成性教學法、問題教學法、數學實驗教學法、數學變式教學法、情景教學法等.只有靈活多變的教學方法才能充分調動學生的積極性.在教學過程中作為一線老師就要以學生為本，注重學生的思維發展，能力的培養，從多角度挖掘教材，最大限度地開發學生思維.只有這樣師生才能變被動為主動，才能看到課堂上的共贏.