找準切入點 突破壓軸題
——以2018年全國高考數學Ⅲ卷理科第16題為例

李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學 830002)

一、試題呈現

已知點M(-1,1)和拋物線C：y2=4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于兩點A，B.若∠AMB=90°，則k=.

二、解法展示

圓錐曲線作為高考的重要內容，每年必考，尤其是橢圓和拋物線.二者在每年的全國高考試卷和地方試卷中必然命制一大題一小題，作為大題和小題的壓軸題，考查學生的數學核心素養，特別是運算能力.小題一般有一定的技巧性，需要“精打細算”，靈活應對，2018年全國高考數學Ⅲ卷第16題就是一個典型代表.對于本題，不同的切入點，將帶來不同解題效果和感受.

解法2 (從x=ty+a直線形式入手)設直線AB的方程為：x=ty+1，將其代入y2=4x得y2-4ty-4=0.設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則y1+y2=4t，y1y2=-4.由解法1得

取AB中點M′(x0,y0),分別過點A,B作準線x=-1的垂線，垂足分別為A′,B′.

因為M′為AB中點，所以MM′平行于x軸.

由M(-1,1)得y0=1，則y1+y2=2.所以k=2.

解得k=tanα=2.

解法7(從MF⊥AB入手)首先證明結論：如果過拋物線C：y2=2px的焦點F且斜率為k的直線與C交于兩點A，B，以線段AB為直徑的圓與準線相切于M，那么MF⊥AB.

點評高考題目是命題專家通過縝密思考，反復論證的精品試題.一些題看起來普普通通，但是卻暗藏著豐富的數學教學資源，尤其是解題方法，通過仔細的研究才能品出其味道.本題雖然是個小題，但是把解析幾何的常見技能技巧和特殊的解題方法都進行了考查，只是我們的視角不同，切入點不同，導致解題感受大相徑庭.解法1是最常見的方法，卻是運算量最大的，中途容易計算出錯；解法2在解法1的基礎上略有改進，運算量下降；解法3利用了幾何位置關系，準確率有保障；解法4、5巧妙地應用了直線參數方程的概念，將參數t用活，斜率由k=tanα解出，很新穎；解法6運用了整體代換的技巧，看似繁雜，實則簡捷；解法7、8是站在已有經驗上解題，非常快捷，前提是要知道這些結論，作為小題，這是最佳解法，又快又準，這也提醒我們平時要注意積累；解法9的代入方式很新穎，整體代入，運算簡潔.數形結合的思想在本題中得到了淋漓盡致的考查，由MM′∥x軸得出yM=yM′多次用到.必修內容和選修內容相互支撐，甚至成為解題的亮點，常規解法與創新解法形成了鮮明的對比，這也體現了高考的功能之一，選拔人才，鼓勵創新.本題知識間的融合達到相當的高度，對學生核心素養的考查全面到位.

三、拓展訓練

本題蘊含的知識與方法在平時也可做一些準備和訓練，以提高學生的實戰能力.下面我們再挖掘一些相關的題目，練習對應的方法.讓教學更有針對性和實效性.

題2 (可仿照解法2解答)已知拋物線C：y2=2x，過點(2，0)的直線交C于A，B兩點,圓M是以線段AB為直徑的圓.證明：坐標原點O在圓M上.

題5 (可仿照解法7、8解答)設拋物線C：y2=4x的焦點為F,過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|=8.則l的方程為____.(答案y=x-1).