探究曲線公切線問題

梁宗明

(甘肅省蘭州市蘭化一中 730060)

曲線的切線問題是導數體系中一個非常重要的高考考點，題目設置一般比較單一，但是近幾年關于曲線公切線問題層出不窮，題型琳瑯滿目，整體難度呈“螺旋式”上升趨勢，但處理思路比較統一.本文將其歸納為六種類型，逐一分析，以饗讀者.如果直線l同時是曲線C1和曲線C2的切線，稱l是C1和C2的公切線，公切線上兩個切點之間的線段，稱為公切線段.

一、已知公切線過定點型

二、已知切點型

例2(2015全國卷)已知曲線y=x+lnx在點(1,1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,則a=____.

三、已知公切線含參型

例3(2016全國)若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線,也是曲線y=ln(x+1)的切線,則b=____.

四、判斷公切線條數型

例4(創新)如果直線l同時是C1和C2的切線，稱l是C1和C2的公切線，則曲線C1：y=x2和曲線C2：y=x3的公切線條數是____.

五、先判斷條數再計算公切線型

六、綜合判斷型

例6(天津卷)已知拋物線C1:y=x2+2x和C2:y=-x2+a，如果直線l同時是C1和C2的切線，稱l是C1和C2的公切線，公切線上兩個切點之間的線段，稱為公切線段.a取什么值時，C1和C2有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程；a取什么值時，C1和C2有兩條公切線？C1和C2不存在公切線？