一類遞推數列與函數不等式的高考壓軸題

劉智強

(浙江省紹興市稽山中學 312000)

數列遞推關系與函數不等式的綜合問題，主要涉及數列的概念、遞推關系與函數的單調性等基礎知識，需要利用不等式加強及導數應用等重要數學數學方法，具有泰勒展開等高等數學背景，綜合考查學生推理論證、分析問題和解決問題能力，近年來一直是高考數學壓軸問題和命題熱點.

題目(2017浙江省高考數學試題22)已知數列{xn}滿足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*). 證明：當n∈N*時，

(1)0

證明(1)方法一：首先用數學歸納法證明xn>0.

當n=1時，x1=1>0.

假設n=k時，xk>0.

那么n=k+1，用反證法證明，若xk+1≤0，則00.

因此xn>0(n∈N*).

又因為xn=xn+1+ln(1+xn+1)>xn+1，

所以0

評注與自然數有關的命題，考慮用數學歸納法證明.在數學歸納法這一步n=k+1，由于關系式xk=xk+1+ln(1+xk+1)，xk+1不方便用xk，所以采用反證法證明.

方法二：構造函數

設f(x)=x+ln(1+x) (x>-1),

所以f(x)>0?x>0，f(x)<0?x<0.

因為xn=xn+1+ln(1+xn+1)，所以xn與xn+1同號.

因為x1>0，所以xn+1>0，所以xn+1+1>0，所以xn-xn+1=ln(1+xn+1)>0，所以xn>xn+1，所以0

評注站在函數觀點看問題，從關系式xn=xn+1+ln(1+xn+1).構造函數f(x)=x+ln(1+x)，利用函數的單調增加性及x1>0，推到xn+1>0，再利用已知關系式證明，xn-xn+1=ln(1+xn+1)>0.

方法三：xn=xn+1+ln(1+xn+1)(xn+1>-1).

xn

(2)方法一：利用構造函數，由xn=xn+1+ln(1+xn+1)得

xnxn+1-4xn+1+2xn

記函數f(x)=x2-2x+(x+2)ln(1+x)(x≥0).

方法三：

(3)因為xn=xn+1+ln(1+xn+1)≤xn+1+xn+1=2xn+1,