題目小世界 思維大舞臺(tái)
——2018浙江數(shù)學(xué)高考第22題

沈海全

(浙江省紹興市越州中學(xué) 312000)

2018年是浙江省新高考開局的第二年，也是全國2017新課標(biāo)公布后的第一年，試卷嚴(yán)格遵循《2017年浙江省普通高考考試說明》，依照《浙江省普通高中學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)意見》，既注重基礎(chǔ)又兼顧選拔梯度，秉承了“簡約中顯大氣，樸實(shí)中有靈氣”的風(fēng)格. 整卷試題充分考慮了解題方法的大眾化與常規(guī)化，不在冷僻的技巧上設(shè)置問題，努力使學(xué)生在通性通法上下功夫，大部分試題中規(guī)中矩、不偏不怪，材料背景熟悉，設(shè)問方式常規(guī)，解題方法基本，與平時(shí)練習(xí)匹配度高，同時(shí)又堅(jiān)持能力立意的原則，充分考查了學(xué)生的思維品質(zhì)與學(xué)習(xí)潛能，彰顯了對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查要求，命題立意高、構(gòu)思巧、回味濃，既有利于高校選拔優(yōu)秀人才，又有利于引導(dǎo)中學(xué)教學(xué). 下面就2018年浙江考題第22題結(jié)合現(xiàn)場評卷情況從試題背景、試題解法、試題意圖、高觀點(diǎn)下的試題、試題拓展等多方位進(jìn)行仔細(xì)研讀，最后指出試題對平時(shí)教學(xué)的啟示.

一、試題呈現(xiàn)

(1)若在x=x1,x2(x1≠x2)處導(dǎo)數(shù)相等，證明：f(x1)+f(x2)>8-8ln2；

(2)若a≤3-4ln2，證明：對于任意k>0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點(diǎn).

二、試題背景

本題以函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式等核心知識(shí)交匯為背景，載體函數(shù)簡單熟悉，敘述簡潔清楚，分層設(shè)問，解題入口寬，方法多樣，秉承了浙江試題一貫的風(fēng)格. 從改卷現(xiàn)場來看，許多考生突然面對函數(shù)壓軸，有畏難心理，但不乏有許多高手.

三、試題解法

1.第(1)問解法分析

第(1)問解法一(省考試院給出的解答)

x(0,16)16(16,+)g′(x)-0+g(x)↘2-4ln2↗

所以g(x)在[256,+)上單調(diào)遞增，故g(x1x2)>g(256)=8-8ln2，即f(x1)+f(x2)>8-8ln2.

評注第一問入口方向清楚，但從改卷情況來看，利用導(dǎo)數(shù)相等得到雙變量關(guān)系后的化簡處理及整體思想轉(zhuǎn)化為單變量問題對學(xué)生提出了較高的要求. 但上述每一步的思維對話是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種思考問題、解決問題的良好思維品質(zhì).

第(1)問解法二

評注這種解法對導(dǎo)數(shù)相等這一條件等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程根的問題，從而有效地將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題. 從改卷現(xiàn)場情況來看，全省做全對的同學(xué)中有一大部分采用了此種解法.

2.第(2)問解法分析

第(2)問解法一(省考試院給出的解答)

所以,存在x0∈(m,n)使f(x0)=kx0+a，

所以，對任意的a∈R及k∈(0,+),直線y=kx+a與曲線y=f(x)有公共點(diǎn).由f(x)=kx+a得設(shè)則其中

由(1)可知g(x)≥g(16),又a≤3-4ln2，故-g(x)-1+a≤-g(16)-1+a=-3+4ln2+a≤0.

所以h′(x)≤0，即函數(shù)h(x)在(0,+)上單調(diào)遞減，因此方程f(x)-kx-a=0至多1個(gè)實(shí)根.

綜上，當(dāng)a≤3-4ln2時(shí)，對于任意k>0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點(diǎn).

評注這種解題思路是先證明存在性，再證明唯一性. 但在證明存在性時(shí)選取的兩個(gè)點(diǎn)難度很大，從改卷情況來看，全省沒有考生從這個(gè)角度來說明. 在證明唯一性時(shí)采用了常見的變量分離的方法，進(jìn)而轉(zhuǎn)為研究新函數(shù)的單調(diào)性問題，且在給定條件下新函數(shù)單調(diào)性固定，避免了討論.

第(2)問解法二

由(1)可知g(x)≥g(16),又a≤3-4ln2，故-g(x)-1+a≤-g(16)-1+a=-3+4ln2+a≤0.

所以h′(x)≤0，即函數(shù)h(x)在(0,+)上單調(diào)遞減.又當(dāng)x→0+,h(x)→+，當(dāng)x→+,h(x)→0+，所以當(dāng)a≤3-4ln2時(shí)，對于任意k>0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點(diǎn).

評注這種解題思路最為簡潔，也是做全對考生中采用最多的方法. 運(yùn)用變量分離，構(gòu)造新函數(shù)證明至多一個(gè)零點(diǎn)，又利用極限的思想說明零點(diǎn)唯一. 雖然考試說明中對極限的定義不作要求，但平時(shí)教學(xué)中在處理函數(shù)圖象問題時(shí)經(jīng)常要用極限的思想來直觀想象和感受，學(xué)生比較熟悉.

第(2)問解法三

下面證明唯一性.

下面問題轉(zhuǎn)化為常見的極值的最值問題.

評注這種解題思路也是比較常規(guī)，先利用極限的思想說明零點(diǎn)的存在性. 但在證明唯一性時(shí)沒有變量分離，而是根據(jù)參數(shù)討論動(dòng)態(tài)函數(shù)的單調(diào)性，最后轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)函數(shù)極值的最值問題，對學(xué)生能力要求較高.

四、試題意圖

從以上解題過程中我們充分感受到浙江省主觀題命制“起點(diǎn)低，入口寬，重通解，重思想，講究策略，能力素養(yǎng)立意”的高考導(dǎo)向.本題的考查意圖可從以下三個(gè)方面來闡述：

1.知識(shí)能力層面：重點(diǎn)考查高中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式，以此為載體考查學(xué)生分析和解決數(shù)學(xué)問題的綜合能力，如轉(zhuǎn)化化歸能力、推理論證能力、運(yùn)算能力等，為能力層次較高的學(xué)生提供了恰當(dāng)?shù)乃伎伎臻g.

2.思想思維層面：考查學(xué)生函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)換、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想,考查了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性、發(fā)散性.

3.核心素養(yǎng)層面：考查學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.

五、更高觀點(diǎn)下的試題

德國數(shù)學(xué)家克萊因曾說過“站得更高才能看得更遠(yuǎn)”，而高等數(shù)學(xué)能讓我們站在高處，它的基本思想、基本方法和基本問題為高考試題的命制提供了豐富的背景和思路，它無疑是考查能力素養(yǎng)的一塊沃土. 對于高觀點(diǎn)下的數(shù)學(xué)試題，并不是要求教師提前教高等數(shù)學(xué)知識(shí)，而是要求我們教師研究高觀點(diǎn)下高考試題的命制思路，從而有效地指導(dǎo)我們的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué). 本題就是利用高等數(shù)學(xué)中函數(shù)的凹凸性及函數(shù)拐點(diǎn)來命制的. 下面結(jié)合圖象作簡要分析.

第一問中f′(x1)=f′(x2)，結(jié)合f′(x)的圖象可以發(fā)現(xiàn)x1，x2不關(guān)于x=16對稱，即函數(shù)f′(x)的極值點(diǎn)發(fā)生偏移(其它省份考的非常普遍)，相應(yīng)的原函數(shù)f(x)的圖象在拐點(diǎn)處出現(xiàn)偏移(虛線部分為關(guān)于拐點(diǎn)的對稱圖象).根據(jù)圖象顯然可得f(x1)+f(x2)>8-8ln2=2f(16).

鑒于以上分析，試題命制的思路已經(jīng)非常清晰，為試題的變式拓展提供了方向和依據(jù).

六、試題拓展

1.第(1)問變式拓展

證明由題意不妨設(shè)08，只要證x2>8-x1>4.

因?yàn)閒(x)在(4,+)上單調(diào)遞增，所以只要證f(x2)>f(8-x1)，即證f(x1)>f(8-x1).

所以F(x1)=f(x1)-f(8-x1)>F(4)=0,即f(x1)>f(8-x1)，即x1+x2>8.

證明由題意不妨設(shè)48-8ln2.

可證得當(dāng)x2∈(16,32)時(shí)，F(xiàn)′(x)>0，所以F(x)在(16,32)上單調(diào)遞增.

所以F(x2)=f(x2)+f(32-x2)>F(16)=2f(16)=8-8ln2，所以結(jié)論成立.

變式三已知函數(shù)f(x)=2lnx+x2+x，若正實(shí)數(shù)x1,x2且x1≠x2滿足f(x1)+f(x2)=4,求證：x1+x2>2.

限于篇幅證明略.

評注變式一為極值點(diǎn)偏移問題，變式二為拐點(diǎn)偏移問題，變式三是改變函數(shù)背景的拐點(diǎn)偏移問題.此類問題是其它省份的熱門考題. 相信在浙江省也會(huì)是一個(gè)新的熱點(diǎn)問題.

2.第(2)問變式拓展

變式二已知函數(shù)f(x)=2lnx+x2+x.當(dāng)a≥-3時(shí)，證明：對于任意k>0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點(diǎn). 限于篇幅證明略.

評注變式一改變設(shè)問，變式二三改變函數(shù)背景，本質(zhì)都是拐點(diǎn)處穿透切線問題.

七、鏈接其它省份高考

以下試題均為其它省份考過的偏移問題，限于篇幅不再給出具體解答.

1.(2010天津)已知函數(shù)f(x)=xe-x，若f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，證明：x1+x2>2.

變式：已知函數(shù)f(x)=x-aex.有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2，證明：x1+x2>2.

2.(2011遼寧)已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2+(2-a)x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(3)若函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)，線段A,B中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，證明：f′(x0)<0.

3.(2016新課標(biāo))已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2，證明：x1+x2<2.

八、教學(xué)啟示

本題既考查了基礎(chǔ)知識(shí)，基本的思想方法，又突出對學(xué)生能力素養(yǎng)的考查. 對課堂教學(xué)是一種很好的引導(dǎo)，引導(dǎo)教師、學(xué)生避免將大量的精力消耗在盲目套用所謂的套路、秒殺等技巧上. 從改卷情況來看，學(xué)生缺少的是扎實(shí)的基礎(chǔ)和解決數(shù)學(xué)問題的思維及策略的選擇. 縱向研究挖掘思維的深度，橫向聯(lián)系培養(yǎng)思維的寬度，延伸拓展成就思維的高度，需要我們教師在平時(shí)的教學(xué)中幫助學(xué)生橫縱多角度的探索、一題多變、提升策略，站在更高的觀點(diǎn)幫助學(xué)生理解題目本質(zhì)，觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).