題目小世界 思維大舞臺
——2018浙江數學高考第22題

沈海全

(浙江省紹興市越州中學 312000)

2018年是浙江省新高考開局的第二年，也是全國2017新課標公布后的第一年，試卷嚴格遵循《2017年浙江省普通高考考試說明》，依照《浙江省普通高中學科教學指導意見》，既注重基礎又兼顧選拔梯度，秉承了“簡約中顯大氣，樸實中有靈氣”的風格. 整卷試題充分考慮了解題方法的大眾化與常規(guī)化，不在冷僻的技巧上設置問題，努力使學生在通性通法上下功夫，大部分試題中規(guī)中矩、不偏不怪，材料背景熟悉，設問方式常規(guī)，解題方法基本，與平時練習匹配度高，同時又堅持能力立意的原則，充分考查了學生的思維品質與學習潛能，彰顯了對數學核心素養(yǎng)的考查要求，命題立意高、構思巧、回味濃，既有利于高校選拔優(yōu)秀人才，又有利于引導中學教學. 下面就2018年浙江考題第22題結合現場評卷情況從試題背景、試題解法、試題意圖、高觀點下的試題、試題拓展等多方位進行仔細研讀，最后指出試題對平時教學的啟示.

一、試題呈現

(1)若在x=x1,x2(x1≠x2)處導數相等，證明：f(x1)+f(x2)>8-8ln2；

(2)若a≤3-4ln2，證明：對于任意k>0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點.

二、試題背景

本題以函數與導數、不等式等核心知識交匯為背景，載體函數簡單熟悉，敘述簡潔清楚，分層設問，解題入口寬，方法多樣，秉承了浙江試題一貫的風格. 從改卷現場來看，許多考生突然面對函數壓軸，有畏難心理，但不乏有許多高手.

三、試題解法

1.第(1)問解法分析

第(1)問解法一(省考試院給出的解答)

x(0,16)16(16,+)g′(x)-0+g(x)↘2-4ln2↗

所以g(x)在[256,+)上單調遞增，故g(x1x2)>g(256)=8-8ln2，即f(x1)+f(x2)>8-8ln2.

評注第一問入口方向清楚，但從改卷情況來看，利用導數相等得到雙變量關系后的化簡處理及整體思想轉化為單變量問題對學生提出了較高的要求. 但上述每一步的思維對話是數學學習中的一種思考問題、解決問題的良好思維品質.

第(1)問解法二

評注這種解法對導數相等這一條件等價轉化為方程根的問題，從而有效地將雙變量問題轉化為單變量問題. 從改卷現場情況來看，全省做全對的同學中有一大部分采用了此種解法.

2.第(2)問解法分析

第(2)問解法一(省考試院給出的解答)

所以,存在x0∈(m,n)使f(x0)=kx0+a，

所以，對任意的a∈R及k∈(0,+),直線y=kx+a與曲線y=f(x)有公共點.由f(x)=kx+a得設則其中

由(1)可知g(x)≥g(16),又a≤3-4ln2，故-g(x)-1+a≤-g(16)-1+a=-3+4ln2+a≤0.

所以h′(x)≤0，即函數h(x)在(0,+)上單調遞減，因此方程f(x)-kx-a=0至多1個實根.

綜上，當a≤3-4ln2時，對于任意k>0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點.

評注這種解題思路是先證明存在性，再證明唯一性. 但在證明存在性時選取的兩個點難度很大，從改卷情況來看，全省沒有考生從這個角度來說明. 在證明唯一性時采用了常見的變量分離的方法，進而轉為研究新函數的單調性問題，且在給定條件下新函數單調性固定，避免了討論.

第(2)問解法二

由(1)可知g(x)≥g(16),又a≤3-4ln2，故-g(x)-1+a≤-g(16)-1+a=-3+4ln2+a≤0.

所以h′(x)≤0，即函數h(x)在(0,+)上單調遞減.又當x→0+,h(x)→+，當x→+,h(x)→0+，所以當a≤3-4ln2時，對于任意k>0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點.

評注這種解題思路最為簡潔，也是做全對考生中采用最多的方法. 運用變量分離，構造新函數證明至多一個零點，又利用極限的思想說明零點唯一. 雖然考試說明中對極限的定義不作要求，但平時教學中在處理函數圖象問題時經常要用極限的思想來直觀想象和感受，學生比較熟悉.

第(2)問解法三

下面證明唯一性.

下面問題轉化為常見的極值的最值問題.

評注這種解題思路也是比較常規(guī)，先利用極限的思想說明零點的存在性. 但在證明唯一性時沒有變量分離，而是根據參數討論動態(tài)函數的單調性，最后轉化為動態(tài)函數極值的最值問題，對學生能力要求較高.

四、試題意圖

從以上解題過程中我們充分感受到浙江省主觀題命制“起點低，入口寬，重通解，重思想，講究策略，能力素養(yǎng)立意”的高考導向.本題的考查意圖可從以下三個方面來闡述：

1.知識能力層面：重點考查高中數學的核心知識函數與導數、不等式，以此為載體考查學生分析和解決數學問題的綜合能力，如轉化化歸能力、推理論證能力、運算能力等，為能力層次較高的學生提供了恰當的思考空間.

2.思想思維層面：考查學生函數與方程、等價轉換、數形結合、分類討論等數學思想,考查了學生數學思維的靈活性、發(fā)散性.

3.核心素養(yǎng)層面：考查學生數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算等數學學科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.

五、更高觀點下的試題

德國數學家克萊因曾說過“站得更高才能看得更遠”，而高等數學能讓我們站在高處，它的基本思想、基本方法和基本問題為高考試題的命制提供了豐富的背景和思路，它無疑是考查能力素養(yǎng)的一塊沃土. 對于高觀點下的數學試題，并不是要求教師提前教高等數學知識，而是要求我們教師研究高觀點下高考試題的命制思路，從而有效地指導我們的中學數學課堂教學. 本題就是利用高等數學中函數的凹凸性及函數拐點來命制的. 下面結合圖象作簡要分析.

第一問中f′(x1)=f′(x2)，結合f′(x)的圖象可以發(fā)現x1，x2不關于x=16對稱，即函數f′(x)的極值點發(fā)生偏移(其它省份考的非常普遍)，相應的原函數f(x)的圖象在拐點處出現偏移(虛線部分為關于拐點的對稱圖象).根據圖象顯然可得f(x1)+f(x2)>8-8ln2=2f(16).

鑒于以上分析，試題命制的思路已經非常清晰，為試題的變式拓展提供了方向和依據.

六、試題拓展

1.第(1)問變式拓展

證明由題意不妨設08，只要證x2>8-x1>4.

因為f(x)在(4,+)上單調遞增，所以只要證f(x2)>f(8-x1)，即證f(x1)>f(8-x1).

所以F(x1)=f(x1)-f(8-x1)>F(4)=0,即f(x1)>f(8-x1)，即x1+x2>8.

證明由題意不妨設48-8ln2.

可證得當x2∈(16,32)時，F′(x)>0，所以F(x)在(16,32)上單調遞增.

所以F(x2)=f(x2)+f(32-x2)>F(16)=2f(16)=8-8ln2，所以結論成立.

變式三已知函數f(x)=2lnx+x2+x，若正實數x1,x2且x1≠x2滿足f(x1)+f(x2)=4,求證：x1+x2>2.

限于篇幅證明略.

評注變式一為極值點偏移問題，變式二為拐點偏移問題，變式三是改變函數背景的拐點偏移問題.此類問題是其它省份的熱門考題. 相信在浙江省也會是一個新的熱點問題.

2.第(2)問變式拓展

變式二已知函數f(x)=2lnx+x2+x.當a≥-3時，證明：對于任意k>0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點. 限于篇幅證明略.

評注變式一改變設問，變式二三改變函數背景，本質都是拐點處穿透切線問題.

七、鏈接其它省份高考

以下試題均為其它省份考過的偏移問題，限于篇幅不再給出具體解答.

1.(2010天津)已知函數f(x)=xe-x，若f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，證明：x1+x2>2.

變式：已知函數f(x)=x-aex.有兩個不同的零點x1,x2，證明：x1+x2>2.

2.(2011遼寧)已知函數f(x)=lnx-ax2+(2-a)x.

(1)討論f(x)的單調性；

(3)若函數y=f(x)的圖象與x軸交于A,B兩點，線段A,B中點的橫坐標為x0，證明：f′(x0)<0.

3.(2016新課標)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個不同的零點x1,x2，證明：x1+x2<2.

八、教學啟示

本題既考查了基礎知識，基本的思想方法，又突出對學生能力素養(yǎng)的考查. 對課堂教學是一種很好的引導，引導教師、學生避免將大量的精力消耗在盲目套用所謂的套路、秒殺等技巧上. 從改卷情況來看，學生缺少的是扎實的基礎和解決數學問題的思維及策略的選擇. 縱向研究挖掘思維的深度，橫向聯系培養(yǎng)思維的寬度，延伸拓展成就思維的高度，需要我們教師在平時的教學中幫助學生橫縱多角度的探索、一題多變、提升策略，站在更高的觀點幫助學生理解題目本質，觸及數學本質的教學更能激發(fā)學生的學習興趣，提升學生的數學核心素養(yǎng).