細(xì)線繞柱問題的再探討

趙繼峰 姜付錦 邱為鋼

(1.湖北省武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué) 430300；2.浙江省湖州師范學(xué)院求真學(xué)院公共教研部 313000)

細(xì)線繞柱問題是中學(xué)生物理競(jìng)賽訓(xùn)練題的一類常見題目，一個(gè)質(zhì)量不計(jì)的細(xì)線，一端固定在圓柱表面，一端系著一個(gè)大小不計(jì)的小球.起始時(shí)刻把細(xì)線拉直并給小球一個(gè)垂直細(xì)線方向的速度，問小球如何運(yùn)動(dòng).圓柱是有高度的，但幾乎所有的解答默認(rèn)為圓柱是沒有高度的，細(xì)線和小球在垂直圓柱的平面內(nèi)(地面上)運(yùn)動(dòng)，完全忽略重力對(duì)小球的影響.讀者真的去做這個(gè)實(shí)驗(yàn)，用一個(gè)筷子系一條繩子，繩子一端系一個(gè)螺絲帽等重物.你會(huì)發(fā)現(xiàn)，這是個(gè)三維運(yùn)動(dòng)問題，細(xì)線在圓柱上繞出一個(gè)類似螺旋線的曲線.中學(xué)師生想當(dāng)然的把這個(gè)三維運(yùn)動(dòng)問題自動(dòng)轉(zhuǎn)化為兩維運(yùn)動(dòng)問題，就算文獻(xiàn)中明確寫出“立一個(gè)圓柱”，作者還是認(rèn)為是兩維曲線問題.假如這個(gè)柱不僅是圓柱，還有可能是圓錐或球面，文獻(xiàn)中的結(jié)論-物塊速度垂直于懸線-還成立嗎？曲面上繃緊細(xì)線上張力怎么分布？

從實(shí)際物理角度考慮，曲面應(yīng)該是粗糙的，在柱面上繃緊的細(xì)線不會(huì)在細(xì)線垂直方向上移動(dòng)，我們也假設(shè)曲線面外的細(xì)線部分也是繃緊的，以弧長(zhǎng)為參數(shù)，細(xì)線在曲面上和曲面外分界點(diǎn)的坐標(biāo)是

當(dāng)然這個(gè)坐標(biāo)滿足曲面的隱函數(shù)方程F(x,y,z)=0.這個(gè)分界點(diǎn)在曲面上移動(dòng)，形成一個(gè)三維曲線.設(shè)曲線在這個(gè)點(diǎn)的切線方程是：

其中三個(gè)方向角分別是切線方向與三個(gè)坐標(biāo)軸的夾角，按定義有：

滿足以下約束：cos2α+cos2β+cos2γ=1 (4)

設(shè)細(xì)線的總長(zhǎng)度為L(zhǎng)，那么細(xì)線末端小球的坐標(biāo)是

x′(s)=x(s)+(L-s)cosα

y′(s)=y(s)+(L-s)cosβ

z′(s)=z(s)+(L-s)cosγ(5)

(4)式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得到小球的速度是：

于是運(yùn)動(dòng)小球速度與細(xì)線方向的內(nèi)積(點(diǎn)乘)為

(4)式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得到

寫開來就是

舉一個(gè)例子來說明(13)式的計(jì)算.球面上一個(gè)細(xì)線，參數(shù)方程是：

其中E(φ，k)是第二類完全橢圓積分.這種情況下與粗糙圓柱面上細(xì)線張力類似，隨著參數(shù)的變化，張力指數(shù)增長(zhǎng).

跳離中學(xué)物理訓(xùn)練題無論什么情況都是默認(rèn)為兩維平面運(yùn)動(dòng)的模式，考慮到了真實(shí)場(chǎng)景，得到了三維曲面上細(xì)線繃緊運(yùn)動(dòng)時(shí)，末端物塊速度也是垂直細(xì)線的結(jié)論.對(duì)于粗糙曲面上的三維纏繞細(xì)線，張力也是隨著參數(shù)指數(shù)增長(zhǎng)的.