細線繞柱問題的再探討

趙繼峰 姜付錦 邱為鋼

(1.湖北省武漢市黃陂區第一中學 430300；2.浙江省湖州師范學院求真學院公共教研部 313000)

細線繞柱問題是中學生物理競賽訓練題的一類常見題目，一個質量不計的細線，一端固定在圓柱表面，一端系著一個大小不計的小球.起始時刻把細線拉直并給小球一個垂直細線方向的速度，問小球如何運動.圓柱是有高度的，但幾乎所有的解答默認為圓柱是沒有高度的，細線和小球在垂直圓柱的平面內(地面上)運動，完全忽略重力對小球的影響.讀者真的去做這個實驗，用一個筷子系一條繩子，繩子一端系一個螺絲帽等重物.你會發現，這是個三維運動問題，細線在圓柱上繞出一個類似螺旋線的曲線.中學師生想當然的把這個三維運動問題自動轉化為兩維運動問題，就算文獻中明確寫出“立一個圓柱”，作者還是認為是兩維曲線問題.假如這個柱不僅是圓柱，還有可能是圓錐或球面，文獻中的結論-物塊速度垂直于懸線-還成立嗎？曲面上繃緊細線上張力怎么分布？

從實際物理角度考慮，曲面應該是粗糙的，在柱面上繃緊的細線不會在細線垂直方向上移動，我們也假設曲線面外的細線部分也是繃緊的，以弧長為參數，細線在曲面上和曲面外分界點的坐標是

當然這個坐標滿足曲面的隱函數方程F(x,y,z)=0.這個分界點在曲面上移動，形成一個三維曲線.設曲線在這個點的切線方程是：

其中三個方向角分別是切線方向與三個坐標軸的夾角，按定義有：

滿足以下約束：cos2α+cos2β+cos2γ=1 (4)

設細線的總長度為L，那么細線末端小球的坐標是

x′(s)=x(s)+(L-s)cosα

y′(s)=y(s)+(L-s)cosβ

z′(s)=z(s)+(L-s)cosγ(5)

(4)式兩邊對時間求導，得到小球的速度是：

于是運動小球速度與細線方向的內積(點乘)為

(4)式兩邊對時間求導，得到

寫開來就是

舉一個例子來說明(13)式的計算.球面上一個細線，參數方程是：

其中E(φ，k)是第二類完全橢圓積分.這種情況下與粗糙圓柱面上細線張力類似，隨著參數的變化，張力指數增長.

跳離中學物理訓練題無論什么情況都是默認為兩維平面運動的模式，考慮到了真實場景，得到了三維曲面上細線繃緊運動時，末端物塊速度也是垂直細線的結論.對于粗糙曲面上的三維纏繞細線，張力也是隨著參數指數增長的.