三維力學問題解題方法探討

曾 奇

(廣東省中山市中山紀念中學 528454)

高中生接觸比較多的力學問題通常都是二維平面問題，在這類問題中物體受到的力都在同一個平面內，我們只需在平面內建立二維直角坐標系就可以求解.但是有些問題中物體受到的幾個力不在同一個平面內，筆者把這樣的問題稱為 “三維力學問題”，學生面對這樣的問題往往會覺得無從下手，在解決這類問題時，我們可以根據物體的運動情況先把其中的受力平衡的維度解決掉，這樣就可以把三維問題降低維度，然后再根據物體的運動情況解決非平衡態的那個維度的問題.

例1如圖1所示，斜面為長方形的斜面體傾角為37°，其長為0.8 m，寬為0.6 m．一重為20 N的木塊原先在斜面體上部，當對它施加平行于AB邊的恒力F時，剛好使木塊沿對角線AC勻速下滑，求木塊與斜面間的動摩擦因數μ和恒力F的大小．

解析將重力分解為沿斜面的分力mgsinθ和垂直于斜面的分力mgcosθ

物塊在垂直于斜面的方向上合力為零：N=mgcosθ

木塊在斜面上的受力如圖2，沿AB方向和AD方向建立坐標系，物體在平面內合力為零，則有：F=mgsinθsinα=9N

由：Ff=μN得：μ=15/16

例2雜技表演的安全網如圖3甲所示，網繩的結構為正方形格子，O、a、b、c、d等為網繩的結點，安全網水平張緊后，質量為m的運動員從高處落下，恰好落在O點上．該處下凹至最低點時，網繩dOe、bOg均為120°張角，如圖3乙所示，若此時人的加速度豎直向上，大小為2g，則這時O點周圍每根網繩承受的張力大小為

A．mgB．1.5mgC．2mgD．3mg

解析每根繩子的拉力為T，則每根繩子的拉力在豎直方向的分量為：Tcos60°，四根繩子在水平方向上合力為零，在豎直方向上有4Tcos60°-mg=ma，解得：T=1.5mg，故選項B正確

例3如圖4所示，直角斜槽間夾角為90°，對水平面的夾角為θ，一橫截面為正方形的物塊恰能沿此槽勻速下滑.假定兩槽面的材料和表面情況相同，求物塊與槽面間的動摩擦因數μ的最小值為多大？

解析如圖5建立三維直角坐標系來求解該題目，為了求解問題的方便，以A點為坐標原點，分別沿AD方向、AB方向、AC方向建立x軸、y軸、z軸.物體沿x軸負方向加速，因此物體所受合力的方向為x軸的負方向，所以物體在垂直于x軸的平面內合力為零，垂直x軸的方向有兩個，因此還要列出y方向合力為零和z方向合力為零兩個方程，即最終要得到三個方向的方程進行求解.將重力分解為x負方向的分力mgsinθ和垂直于x方向的分量mgcosθ，設垂直于x方向的分量mgcosθ(即yAz平面內的分量)與y軸夾角為α，將其分解為y方向分量mgcosθcosα和z方向分量mgcosθsinα.

得：y方向：N1=mgcosθcosα

z方向：N2=mgcosθsinα

x方向：mgsinθ=f1+f2

即：mgsinθ=μmgcosθcosα+μmgcosθsinα

以上問題都需要在三維直角坐標系下進行求解，由于高中生通常比較熟悉用二維直角坐標系解題，所以這類 “三維”問題對高中生具有一定的難度.學生解題時可以根據物體的運動的情況先解決合力為零的方向的受力情況，再解決合力不為零的方向.例如物體做直線運動，則在垂直于該直線的兩個維度上受力平衡，學生可以先列出這兩個方向的方程，再解決有加速度的方向的方程；如果物體做平面運動，則在垂直于該平面的方向上受力平衡，學生可以先列出這個方向的方程.之后再根據具體的運動情況，找到受力不為零的方向，列出相應的方程.