分離函數法的類型及簡單運用

武增明

(云南省玉溪第一中學 653100)

一、把一個函數分離成兩個函數的和，求函數的最值(值域)

有些求函數的最值(值域)問題，用常規方法很難求解，甚至幾乎解不出來.若想到把一個函數f(x)分離成兩個函數g(x)與h(x)的和g(x)+h(x)，使兩個函數g(x)和h(x)都能判斷其單調性，且使兩個函數g(x)和h(x)都能在同一處取得最值(極限值)，從而問題破解.

例1已知函數f(x)=(2x2-2x-1)ex.

(1)設函數h(x)=exf(x)，試討論函數h(x)的單調性；

(2)設函數T(x)=(x-1)(2xe2x-1)+ex-1-e2x，求函數T(x)的最小值.

解(1)函數h(x)的定義域為(-∞，+∞)，h′(x)=4(x2-1)e2x，

當x∈(-∞，-1)時，h′(x)>0，h(x)在(-∞，-1]上為單調增函數；

當x∈(1，+∞)時，h′(x)>0，h(x)在[1，+∞)上為單調增函數；

當x∈(-1，1)時，h′(x)<0，h(x)在[-1，1]上為單調減函數.

于是，函數h(x)在(-∞，-1] ，[1，+∞)上為單調增函數，在[-1，1]上為單調減函數.

(2)函數T(x)=(x-1)(2xe2x-1)+ex-1-e2x=h(x)+ex-1-x+1，

由(1)得，函數h(x)在(-∞，-1] ，[1，+∞)上單增，在[-1，1]上單減，

又x<-1時，h(x)>0，而h(1)=-e2<0，

故函數h(x)的最小值為h(1)=-e2.

令r(x)=ex-1-x+1，則r′(x)=ex-1-1，

當x∈(-∞，1)時，r′(x)<0，r(x)在(-∞，1]上為單調減函數；

當x∈[1，+∞)時，r′(x)>0，r(x)在[1，+∞)上為單調增函數.

所以函數r(x)的最小值為r(1)=1.

故當x=1時，函數T(x)的最小值為1-e2.

評注(1)此題的第(1)問起提示作用，也就是說，如果沒有第(1)問，直接求解第(2)問，難度就增加了很多.(2)通過求導來判斷函數T(x)的單調性來求其最小值，難度是巨大的，甚至不可能做到.

二、把一個函數分離成兩個函數的積，證明函數不等式

有些函數不等式的證明，用常規方法很難奏效，甚至幾乎證不出來.若想到把一個函數f(x)分離成兩個函數g(x)與h(x)的積g(x)h(x)，且使兩個函數g(x)和h(x)都能判斷其函數值的符號或者單調性，從而可使問題獲解.

三、把一個函數分離成兩個獨立的函數，證明函數不等式

有些函數不等式的證明，用常規思維很難證明，甚至幾乎行不通.若考慮到把一個函數f(x)分離成兩個獨立的函數g(x)與h(x)，且使兩個函數g(x)和h(x)都能判斷其單調性，進而分別求出其最值(值域)，問題得解.

例3證明：x∈R，a≤1時，xex+a+x2-2x+1>0.

證明要證xex+a+x2-2x+1>0，通過分離函數，即證xex+a>-(x-1)2.

當x>0時，xex+a>0，-(x-1)2≤0，xex+a>-(x-1)2成立.

當x≤0時，f(x)=xex+a的導數f′(x)=(x+1)ex+a，從而f(x)在區間[-1，+∞)上單調遞增，在區間(-∞，-1]上單調遞減，于是f(x)min=f(-1)=-ea-1.

而g(x)=-(x-1)2(x≤0)的最大值為g(0)=-1.

由于a≤1，有ea-1≤1，且兩函數不在同一處取到最值，故x∈R，a≤1時，xex+a>-(x-1)2，即xex+a+x2-2x+1>0.

評注(1)通過求導來求函數F(x)=xex+a+x2-2x+1的單調性，進而求出其最值(值域)，是幾乎行不通的.(2)要注意“f(x)≥g(x)恒成立”是“f(x)min≥g(x)max”的必要不充分條件.

四、把函數ex和lnx分離開，證明函數不等式

(1)求a，b；

(2)證明：f(x)>1.

分析(1)a=1，b=2(過程略).

綜上，當x>0時，g(x)>h(x)，即f(x)>1.

五、分離出

例5(2015年高考全國卷Ⅰ·理12)設函數f(x)=ex(2x-1)-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整數x0使得f(x)<0，則a的取值范圍是( ).

分析本題若直接求導，就會多次求導后無果；若選擇分離參數法，也無法進行下去.我們可以嘗試分離出兩個常見函數進行求解.

解因為f(x)=ex(2x-1)-ax+a，f(x)<0?ex(2x-1)

例6 函數f(x)=lnx-ax2+x有兩個零點，則實數a的取值范圍是( ).

A. (0，1) B. (-∞，1)

分析本題直接求導不好求解，而用分離參數法則比較復雜，小題大做.若將f(x)=lnx-ax2+x=0分離成lnx=ax2-x，利用圖象來研究，也很難解釋清楚.有沒有更好的解法呢？

畫出y=g(x)與y=h(x)的圖象，如圖2所示，可知當a=1時，y=h(x)與y=g(x)相切.當0

六、反思

從2010年起，高考數學對分離函數法有了明顯的關注，導向清晰，而且近幾年高考中分離函數法的類型有了新的變化，我們應該加強對此模塊的解法研究.分離參數法也是分離函數法，只不過分離參數法中的一個函數是常函數而已.為了讓學生更好地理解并應用分離函數法，在教學中，教師應讓學生熟知以下函數的圖象(如圖3).