審視結構特征 構造合理函數
——例談利用導數證明不等式的構造法

范習昱

(江蘇省鎮江市丹徒高級中學 212143)

利用導數研究函數的單調性極值和最值，再由單調性來證明不等式是函數、導數、不等式綜合中的一個難點，也是近幾年高考的熱點．解題思路是構造輔助函數，把不等式的證明轉化為利用導數研究函數的單調性或求最值，從而證明不等式.而如何根據不等式的結構特征構造出一個可導函數是用導數證明不等式的關鍵，也是難點之處．

利用導數證明不等式的基本的思維程序：根據不等式的特點，構造輔助函數，用導數求出該函數的最值，由輔助函數取最大(或最小)值時不等式都成立，可得目標不等式恒成立，從而把證明不等式問題轉化為函數求最值問題.

而利用導數證明不等式的關鍵在于構造函數，下面選取經典的案例(一些是高考題)，探討構造輔助函數的幾類有效策略.

一、直接移項構造函數

點評當要證的不等式結構比較簡單，由基本的表達式(基本的多項式、根式、三角式，對數式等)構成，可以直接移項就能構造函數，這應該是利用導數證明不等式的最為常見和基本的方法．

二、合理換元構造函數

構造輔助函數f(x)=1-x+lnx，證明其最大值小于或等于零即可．

另解構造輔助函數：

∴當-10時，f′(x)>0，即f(x)在x∈(0,+)上為增函數.因此在x=0時,f(x)取得極小值f(0)，而且是最小值.

點評一些不等式結構看似復雜，直接移項構造函數，雖然也能證明，但會帶來較大的運算量，這樣構造的函數并不合理，適當變換后合理換元，再來審視要證的不等式，構造方法便豁然開朗了．

三、恒等變換構造函數

點評一些不等式結構具有雙變量的特點，經過恒等變換，能夠化成一個函數的兩個函數值的關系，根據這種通式便可找到合理的“輔助函數”加以解決．

四、對數變換構造函數

案例5當b>a>e時，證明ab>ba.

案例6已知m、n都是正整數，且1(1+n)m．

點評一些不等式結構具有冪指數形式，對所證不等式兩邊取對數，進行恒等變形，就可找到很合理的“輔助函數”．

五、確定主元構造函數

點評這是2004年全國卷理工科第22題第二問，大部分的學生都會望而生畏而放棄，學生的思維盲點主要就在對所給函數不知怎么用，雖然有兩個變量，但我們仍然難以像案例3一樣通過整體換元，或者像案例4那樣通過恒等變換構造輔助函數，但是如果確定一個主元，利用極值偏移的思想，還是能找到合理的輔助函數求解的．

毫無疑問，構造輔助函數是異常艱難的過程，很多學生都會覺得輔助函數是“可望而不可及”的，帶著很強的猜測性，其實，我們如能總結這些構造的常見方法，也是能找到很多共性的．當然，還有很多不太常見的構造方法，這里不在贅述．