數學中的“轉化”之美

溫和群

(河北省滄州市第一中學 061000)

一、函數導數的證明問題

函數導數的證明問題是高中數學中的重點難點問題，通常在高考中以壓軸題的形式給出，很多學生面對此類問題通常是束手無策.而且此類問題變化多樣，證明時入手的角度很多，正是因為如此靈活所以學生掌握起來比較困難.但是我們還是可以從中摸索出解決問題的一些“路徑”,最終將問題轉化為數學中最基本、最基礎的問題來解決.這些轉化的方法、處理的策略讓我們充分體會到數學之美.

首先，先嘗試將不等式整理轉化為f(x)≤0或者f(x)≥0的形式，然后構造函數，去研究函數的最小值或者最大值問題.

其次，若構造的函數不好研究，那就嘗試將所證明的不等式進行等價變形，變形之后再重復剛才的工作去嘗試證明.

第三，可以嘗試將要證明的不等式進行變形，轉化為f(x)≤g(x)或者f(x)≥g(x)的形式，然后分別研究不等號兩邊的兩個函數的最值，從而證出不等式成立.

第四，如果這幾個辦法均不奏效，可以嘗試將不等式中的某些項進行適當的放縮，轉化為比較簡單的不等式，而且放縮是遵循一定的章法，這樣會使證明成功的幾率大大提高.

二、分別舉例進行說明

嘗試第一種情況：(將不等式兩邊的式子移至不等號一邊構造函數)

f″(x)=sinx-x≤0,

所以f′(x)單調遞減.又f′(0)=0，所以當x<0時f′(x)>0，f(x)單調遞增；當x>0時，f′(x)<0，f(x)單調遞減.

又f(0)=0，所以f(x)≤0,所以原不等式成立.

題后反思：這種處理方式實質是將不等式的證明問題轉化為求解函數的最值問題.

嘗試第二種情況：(將不等式恒等變形后移至一邊構造函數)

易知：g(x)在(-1,0)上單調遞增，在(0,+)上單調遞減，所以g(x)max=g(0)=0，所以g(x)≤0

所以1+x≤ex成立，所以原不等式成立.

題后反思：如果直接構造函數，構造的函數很復雜，為后面的研究最值問題帶來困難，所以先嘗試將要證明的不等式進行恒等變形，轉化為比較簡單的形式之后再去構造函數，研究最值，顯得簡潔、睿智.

鞏固練習：已知：f(x)=(1+x)e-2x，當x∈[0,1]時，

嘗試第三種情況：(將不等式的證明轉化為f(x)≤k≤g(x)形式的證明問題)

在同一個坐標系中觀察兩個函數的圖象，可以更為清晰地看出兩者的關系.

所以原不等式成立.

題后反思：將不等式兩邊的式子構造為兩個函數，分別研究兩個函數的性質，發現f(x)max≤f(x0)=k，且g(x)min≥g(x0)=k.將不等式的證明問題轉化為求兩個函數的最值問題.

∴f′(x)=lnx+1.

又g′(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x)，可以得出g(x)在x∈(0,1)時單調遞增，在x∈(1,+)上單調遞減，

在同一個坐標系中觀察兩個函數的圖象，可以更為清晰地看出兩者的關系.

所以原不等式成立.

題后反思：將不等式兩邊的式子構造為兩個函數，分別研究兩個函數的性質，發現f(x)max≤f(x1)=k，且g(x)min≥g(x2)=k，雖然兩個函數的最值不是在同一個x值處取得的，但是最值是相同的，所以仍然可以證得不等式成立.

求證：對任意x>0，g(x)<1+e-2.

嘗試第四種情況：將不等式的證明轉化為f(x)≤kx+b≤g(x)形式的證明問題

例4(1)求證：(x-1)ex-1>lnx

分析令f(x)=(x-1)ex-1(x>0)，g(x)=lnx(x>0).

可以分別證出f(x)>x-1，以及x-1>g(x)兩個不等式成立(證明過程略).所以原不等式成立.

這樣我們可以在同一個坐標系中作出這四個函數的圖象，可以更為清晰地觀察這四個函數之間的關系.

題后反思：我們通過分析，不僅證得不等式是成立的，而且可以啟發我們以后再證明不等式成立時可以利用(*)式對要證明的不等式進行適當的放縮，使得所要證明的不等式更加簡單.

可以分別證出f(x)>x+1，以及x+1>g(x)兩個不等式成立(證明過程略).

在同一個坐標系中觀察兩個函數的圖象，可以更為清晰地看出兩者的關系.

所以原不等式成立.

題后反思：將一個不等式的證明問題通過等價變形變為去考察“左”“右”兩個函數的變化趨勢問題，即“分而治之”，利用圖象的直觀性，可以試圖去尋找一條邊界線(如切線)，這樣就可以將不等式的證明問題轉化為求兩個函數的最值問題，不僅解決了問題，解決問題的思想及圖形都給人以美的享受.

不僅如此，利用這些關系進行放縮，大大簡化證明問題的難度.

嘗試第五種情況：(將不等式中的某些項進行適當的放縮，再進行證明)

例5(1)求證：ex>2x+lnx.

分析考慮將不等式中的ex進行放縮.

因為ex≥x+1，要證原不等式成立，只需要去證x+1>2x+lnx，只需要去證lnx<1-x，令f(x)=lnx-1+x(x<0).

但是經過分析，無法證得f(x)<0，所以放縮失敗.

這時考慮另一種放縮：lnx≤x-1，要證原不等式成立，只需要去證x-10),所以g′(x)=3-ex.

由g′(x)>0，解得0ln3.

所以g(x)在x∈(0,ln3)上單調遞增；在x∈(ln3,+)上單調遞減，所以g(x)max=g(ln3)=3ln3-4=ln27-lne4<0，所以g(x)<0成立，所以原不等式成立.

分析考慮將不等式中的某些項進行放縮.

可以證得f(x)在x∈(0,1)時單調遞增，在x∈(1,+)上單調遞減，所以f(x)max=f(1)=0.

所以f(x)≤0，所以原不等式成立.

通過這些訓練，讓同學們去體會：遇到問題不能盲目訓練，只是通過加大訓練量達到訓練目的是很低效的做法，要理清思路，分析和研究問題的特點，抓住問題本質，將問題轉化為數學中最基本、最基礎的問題來解決.人對美的事物是有追求的，希望我們的學生在研究數學的過程中不僅品嘗解題成功帶來的喜悅更能體會在解決問題的過程中方法策略的美妙之處.