福比尼原理在解題中的應用

雷亞慶

(江蘇省南京市大廠高級中學 210044)

福比尼原理就是大家熟悉的算兩次思想，也就是將一個量“算兩次”，從而建立相等關系.它的本質實際就是從研究對象的不同表征去探索和發現，利用向量數量積推導兩角差的余弦公式就是算兩次思想的經典應用.算兩次思想在數學解題有著非常重要的作用，下舉幾例加以說明

分析從裝有n+k個小球(其中有k個紅球)的口袋中取出m個球，按照兩種方法算兩次

…

例2 (2018江蘇高考第13題)在△ABC中,角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分線交AC于點D,且BD=1,則4a+c的最小值為____.

分析這是雙變量最值問題，解決問題的關鍵是從已知條件中探尋a,b的等量關系，這時候面積算兩次就要大顯身手了.

所以4a+c的最小值為9

例3(2010江蘇高考改編)在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°.求點A到平面PBC的距離.

解析連結AC.設點A到平面PBC的距離為h.因為AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°.

從而AB=2，BC=1，得△ABC的面積S△ABC=1.

因為PD⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，所以PD⊥DC.

例4 (2018全國二卷11)已知f(x)是定義域為(-∞,+∞)的奇函數，滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( ).

A.-50 B．0 C．2 D．50

分析用函數性質算兩次得到該函數為周期函數問題得解.

解析一方面：由已知f(x)是定義域為(-∞,+∞)的奇函數可得f(1-x)=-f(x-1).

另一方面：f(1-x)=f(1+x)．

綜合起來可得f(x+1)=-f(x-1),

亦即f(x)=-f(x-2).

進一步得f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),

所以函數f(x)是以4為周期的函數.

又因為f(0)=0，f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0,

所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+2=2.

例5在ABCD中，點E,F分別在上，AE∶EB=1∶2,AF∶DF=2∶3,又交于P點，若求x+y的值.

分析點P位置算兩次，利用兩次向量共線的線性表示構建方程組求出x,y.

另一方面：點P又在直線CF上，

分析利用點P的雙重身份建立解題思路

由余弦定理可得

由②③可得PF1·PF2=4(c2-m2)

綜合起來可得

所以兩邊同除以c2得

“算兩次”作為一種重要的數學解題方法,蘊涵著換一個角度看問題的轉換思想.其實質是將同一個量從兩個不同的角度計算兩次,利用“殊途同歸”獲得的等量關系達到“出奇制勝”的目的.單墫教授編著的《算兩次》中，將算兩次原理形象地比喻成“三步舞曲”，即從2個方面考慮一個適當量，“一方面……，另一方面……，綜合起來可得……”，如果一個數學研究對象具有“雙重身份”或“兩面性”，也就是說既滿足條件A又滿足條件B，就可以考慮使用這種方法.