淺析輔助線在高中數(shù)學(xué)幾何題中的重要作用

鄒文韜

(湖南師大二附中 410000)

最為一名高中生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幾何過程中經(jīng)常會出現(xiàn)無從下手的現(xiàn)象，因此在解題時我們需要對其中的已知條件進(jìn)行詳細(xì)閱讀，避免陷入出題者設(shè)計的陷阱.而在高中幾何解題過程中使用輔助線具有重要幫助，有效降低幾何題的難度，縮短解題時間，同時還可以提高解題的準(zhǔn)確性.

一、高中數(shù)學(xué)幾何學(xué)習(xí)的難點(diǎn)

高中數(shù)學(xué)幾何題具有難度相對較大的特點(diǎn)，其中還會涉及到計算和證明內(nèi)容，并且出題者一般會將其他數(shù)學(xué)知識與幾何知識相結(jié)合提高題目的難度.我們在解答幾何題時感覺比較困難主要表現(xiàn)為以下幾點(diǎn)：首先，空間立體思維相對較差，在高中幾何解題中需要我們具有超強(qiáng)的邏輯思維能力，但幾何題經(jīng)常會給人一種抽象的感覺，很難在頭腦中形成立體畫面；其次，在解題過程中很難找到正確的解題思路，看到問題后經(jīng)常會表現(xiàn)得無所適從，不知該用哪種方式證明；第三，解題方案相對較少，我們在解題過程中經(jīng)常會出現(xiàn)邏輯思維混亂現(xiàn)象，無法做到舉一反三，而且在添加輔助線時也不知道該在什么地方加；最后，對問題分析不足，在解題時對問題的分析不足，從而無法掌握解題條件，因此在解題中經(jīng)常會出現(xiàn)繪制輔助線錯誤現(xiàn)象，從而影響解題效果.

二、輔助線在高中數(shù)學(xué)幾何解題中的重要性

1.能夠?qū)?fù)雜的幾何題簡單化

輔助線在解決高中幾何問題中比較常見，出題者在出題的過程中經(jīng)常會將問題復(fù)雜化，從而增加問題的復(fù)雜難度，因此我們經(jīng)常會利用輔助線，將復(fù)雜的問題進(jìn)一步簡單化，從而便于理解題目.在解題過程中我們需要合理地應(yīng)用輔助線，讓思路變得更加清晰，有效降低幾何問題的難度.

例1在三棱柱ABC-A1B1C1中，其底部的A1B1C1為等腰三角形，已知底部∠ABC=90°，同時還知道AA1=AC，并且點(diǎn)D為線段CC1的中點(diǎn)，那么二面角B-B1D-A的大小為多少？

解決以上問題，在思索的過程中會感覺非常復(fù)雜，那么首先我們需要畫出題目中所給出的條件，如圖1.與此同時分析所提出的問題，在解題時直觀地計算二面角B-B1D-A的大小非常困難，所以需要引入輔助線.添加輔助線時我們找到AB中點(diǎn)和A1B1的中點(diǎn)引入輔助線EF和CF，緊接著我們還需要作出CC1和EF中點(diǎn)的連線，也就是DG，并連接AB1和DB1，具體輔助線如圖1.因此在解題中采用垂面，作出其中的垂線進(jìn)行解題，并畫出其中的點(diǎn)H，以此來確定其中的二面角，最后再對問題進(jìn)行分析就會顯得比較簡單.

2.能夠體現(xiàn)出隱含的已知條件

在高中幾何解題中經(jīng)常會出現(xiàn)隱含條件現(xiàn)象，從而增加解題難度，因此在平時練習(xí)幾何解題時，需要對已知條件進(jìn)行全面了解和分析，充分挖掘其中的隱藏條件，并適當(dāng)添加輔助線，降低幾何題目的難度.

例2 已知空間四邊形ABCD，其中的AD與BD相等，AC與BC相等，并且點(diǎn)E為AB的中點(diǎn).證明平面CED與直線AB垂直.

在解題過程中，先畫出問題中已知的條件，從而呈現(xiàn)出題目中所給出的條件，讓整個解題思路變得更加清晰(如圖2).在證明以上問題中所提到的平面CED與直線AB相垂直過程中，需要合理應(yīng)用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，因此在解題時首先應(yīng)該求證直線AB同時垂直于DE和EC，然后再證明一條直線垂直于兩條相交的直線，那么該直線就垂直于這兩條直線共同所在的平面，最后得出平面CED與直線AB相垂直.根據(jù)對以上案例進(jìn)行分析，可以得出在幾何解題中充分應(yīng)用輔助線對解題有重要幫助，不但能夠?qū)⒊橄蟮目臻g問題變得更加直觀化，同時對縮短解題時間有重要幫助.

3.將原圖形進(jìn)行變化

在解題過程中將原圖形進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)等從而得到所需的圖形，顯露出各線段以及角度之間的關(guān)系.

例3已知四邊形ABCD，其中AB與CD相等，并且其中點(diǎn)E、F分別為BC和AD的中點(diǎn)，其中BA、EF和CD分別相交，最終形成∠α和∠β，如圖3所示.求證∠α=∠β.

在此過程中我們需要引入輔助線，并將其中部分圖形進(jìn)行平移，把∠α和∠β的頂點(diǎn)集中到一個已知點(diǎn)上，同時還需要將直線AB與CD進(jìn)行平移，因此可以作出以下輔助線，過點(diǎn)F作出FG平行并且等于AB，作FH平行且等于CD，然后將EG、EH、BG以及HC相連接.為了證明∠α=∠β，只需要證明∠1=∠2即可.由于條件可知AB與FG、BG與AF以及FH與DC平行且相等，從而得出△FHG為等腰三角形，并且因為FE是△FGH底邊的中線，因此可以推出FE為∠GFH的平分線，因此可得∠1=∠2，由此可得∠α=∠β.

綜上所述，高中數(shù)學(xué)幾何題具有空間感強(qiáng)、邏輯思維強(qiáng)的特點(diǎn)，我們在學(xué)習(xí)和解題過程中不僅難度相對較大，同時解題的準(zhǔn)確率也相對較低.經(jīng)過對上文分析可得，在高中幾何解題中適當(dāng)添加輔助線可將復(fù)雜的問題簡單化，從而便于我們在解題時能夠清楚地了解其中的已知條件，因此輔助線在高中數(shù)學(xué)幾何解題中的重要作用研究，能夠有效提高我們的解題質(zhì)量.