關注兩個數列恒等式模型的解題功能

黃旭明

(福建省福安市第三中學 355002)

2017年版高中數學課程標準，提出了高中數學學科核心素養的六個要素，數學建模是其中之一.數學建模是數學應用的重要形式，是解決問題的基本的手段，也是推動數學發展的動力.在等差數列、等比數列的學習中，結合它們的定義，再將通項公式an=a1+(n-1)d,an=a1qn-1變形、引申，不難發現兩個更為一般的數學模型——差式恒等式和商式恒等式：

①an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1);

這兩個恒等式看似平常，其實在解答數列問題中有著廣泛的應用.

一、求數列的通項公式

例1 (見人教版課標教科書必修5 P35)已知a1=1,an=2an-1+1(n>1),求通項an.

解將an+1=2an+1與an=2an-1+1相減，得an+1-an=2(an-an-1)(n>1).

可見新數列{an-an-1}是公比為2的等比數列，它的首項是a2-a1=(2a1+1)-1=2,因此an-an-1=2×2n-2=2n-1(n>1).

根據差式恒等式①有

an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)

類似地，可解答2014年高考題：設a1=1,an+1=3an+1,求an.

解將已知式分解因式，有

(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0.

由an>0知an+1+an≠0,

由商式恒等式②有

二、證明有關正整數的恒等式

有關正整數n的恒等式，通常習慣用數學歸納法來證明.實際上數學歸納法并不是唯一的方法，也不一定是最佳的方法，甚至有時無能為力.而這類題用兩個恒等式來證明，有時會更為方便.

例4 (見人教版課標選修2-2 P94例1)求證：

兩式相減，可得Sn-Sn-1=n2.由差式恒等式有

Sn=S1+(S2-S1)+(S3-S2)+…+(Sn-Sn-1)

=1+22+32+…+n2,

例5 求證(n+1)(n+2)(n+3)…+(n+n)=2n·1·3·5·…·(2n-1).

證明當n=1時，顯然式子成立.當n≥2時，

記an=(n+1)(n+2)(n+3)+…+(n+n),則

an-1=n(n+1)(n+2)…(2n-2).

=2·(2×3)·(2×5)·…·[2×(2n-1)]

=2n·1·3·5·…·(2n-1),

所以(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n·1·3·5·…·(2n-1).

三、證明有關正整數的不等式

對于a1+a2+…+an>(<)f(n)型的不等式，可記Sn=f(n),求出Sn-Sn-1的表達式，并與左端的對應項an比較，適當放縮，建立起Sn-Sn-1與an的不等關系，再用差式恒等式進行證明.對于a1a2a3…an>(<)g(n)型的不等式，類似地處理.

例6 (見人教版課標選修4-5P53習題3)求證：

所以Sn=S1+(S2-S1)+(S3-S2)+…+(Sn-Sn-1)

例7 (見人教版課標選修4-5P50下)求證n2<2n(n≥5).

證明記an=n2,則an-1=(n-1)2,

認識數學模型在解決問題中的作用，學會建立數學模型，這是發現問題，提出問題，分析問題，解決問題的重要手段.這不僅是數學知識的應用，更是數學思想、方法、價值所在，對學生數學核心素養的發展也起著支撐作用.