巧構圖 妙解題

田曉東

(黑龍江省哈爾濱市第二十四中學 150060)

求解某些數學問題，如果能挖掘題目中隱含的幾何意義，構造出相應的幾何圖形，可將隱蔽的條件直觀化，從而簡化思維，獲得直觀、簡捷、巧妙的解答.下面通過若干例子分類闡述.

一、構造數軸

例1 解不等式|x+2|+|x-2|<8.

解我們把數a在數軸上對應的點記為(a)，那么不等式左邊表示點(x)到點(-2)、點(2)的距離之和.如圖1所示，顯然點(x)位于點(-4)與點(4)之間時，可使距離之和小于8.

故不等式的解集為{x|-4

點評本題常規解法是分段討論去掉絕對值，或用平方法去掉絕對值，但運算量都十分巨大，或將問題復雜化.而巧用絕對值的幾何意義，畫出數軸，答案直觀，簡捷獲解.

二、構造圖象

例2 (第15屆全俄數學競賽題)設x,y,z∈(0,1)，求證x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.

分析化多元為一元，構造出相應的函數，考查函數圖象的位置.

證明以x為主元，y、z為參數，將不等式整理成關于x的函數式，即f(x)=(1-y-z)x+y+z-yz-1<0.

由條件x∈(0,1)，知函數f(x)的圖象是定義在區間(0，1)上的一條線段.又由y、z∈(0,1)，知1-y>0,1-z>0,這樣有

f(0)=y+z-yz-1=-(1-y)(1-z)<0,

f(1)=1-y-z+y+z-yz-1=-yz<0.

因此線段位于x軸下方，故有f(x)<0，從而得

x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.

三、構造三角形

例3 已知銳角α、β滿足條件：7sinα=5sinβ,7cosα+5cosβ=7,求α+2β的值.

解由已知式可構造出如圖3的△ABC，其中CD⊥AB,AC=7,BC=5,∠A=α,∠B=β.可見7sinα=CD=5sinB,∠A=α,∠B=β.可見7sinα=CD=5sinβ,AD=7cosα,BD=5cosβ,AB=AD+BD=7cosα+5cosβ=7=AC,故∠ACB=∠B=β.

所以α+2β=α+β+β=∠A+∠B+∠ACB=180°.

點評本題的常規解法是由已知式聯立方程組，分別出求sinα、cosα、sinβ、cosβ,再利用和角及倍角公式計算sin(α+2β)或cos(α+2β),雖然方法可行，但運算量極大，且易錯.而本文解法，由式子的結構特征構造出共直角邊的兩個角三角形，用各條邊來表示各式，方法直觀而簡單.

四、構造圓

例4 (1986年高考題)在平面直角坐標系中，在y軸的正半軸上給定兩點A、B，試在x軸的正半……