巧構圖 妙解題

田曉東

(黑龍江省哈爾濱市第二十四中學 150060)

求解某些數學問題，如果能挖掘題目中隱含的幾何意義，構造出相應的幾何圖形，可將隱蔽的條件直觀化，從而簡化思維，獲得直觀、簡捷、巧妙的解答.下面通過若干例子分類闡述.

一、構造數軸

例1 解不等式|x+2|+|x-2|<8.

解我們把數a在數軸上對應的點記為(a)，那么不等式左邊表示點(x)到點(-2)、點(2)的距離之和.如圖1所示，顯然點(x)位于點(-4)與點(4)之間時，可使距離之和小于8.

故不等式的解集為{x|-4

點評本題常規解法是分段討論去掉絕對值，或用平方法去掉絕對值，但運算量都十分巨大，或將問題復雜化.而巧用絕對值的幾何意義，畫出數軸，答案直觀，簡捷獲解.

二、構造圖象

例2 (第15屆全俄數學競賽題)設x,y,z∈(0,1)，求證x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.

分析化多元為一元，構造出相應的函數，考查函數圖象的位置.

證明以x為主元，y、z為參數，將不等式整理成關于x的函數式，即f(x)=(1-y-z)x+y+z-yz-1<0.

由條件x∈(0,1)，知函數f(x)的圖象是定義在區間(0，1)上的一條線段.又由y、z∈(0,1)，知1-y>0,1-z>0,這樣有

f(0)=y+z-yz-1=-(1-y)(1-z)<0,

f(1)=1-y-z+y+z-yz-1=-yz<0.

因此線段位于x軸下方，故有f(x)<0，從而得

x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.

三、構造三角形

例3 已知銳角α、β滿足條件：7sinα=5sinβ,7cosα+5cosβ=7,求α+2β的值.

解由已知式可構造出如圖3的△ABC，其中CD⊥AB,AC=7,BC=5,∠A=α,∠B=β.可見7sinα=CD=5sinB,∠A=α,∠B=β.可見7sinα=CD=5sinβ,AD=7cosα,BD=5cosβ,AB=AD+BD=7cosα+5cosβ=7=AC,故∠ACB=∠B=β.

所以α+2β=α+β+β=∠A+∠B+∠ACB=180°.

點評本題的常規解法是由已知式聯立方程組，分別出求sinα、cosα、sinβ、cosβ,再利用和角及倍角公式計算sin(α+2β)或cos(α+2β),雖然方法可行，但運算量極大，且易錯.而本文解法，由式子的結構特征構造出共直角邊的兩個角三角形，用各條邊來表示各式，方法直觀而簡單.

四、構造圓

例4 (1986年高考題)在平面直角坐標系中，在y軸的正半軸上給定兩點A、B，試在x軸的正半軸上求點C，使∠ACB取得最大值.

解不妨記A(0，a),B(0,b)(a>b>0),如圖4.現過點A、點B作一圓，與x軸正半軸相切于點C，則點C即為所求.理由如下：

假設點D是x軸正半軸上異于點C的任一點，連結AC、BC、AD、BD，記AD與圓交于點E.由平面幾何知∠D<∠AEB=∠ACB,因此點C使∠ACB最大.

點評本題的常規解法有三角法，解析幾何法，復數法，再結合判別式，基本不等式來解答，過程繁難.而本解法構造出直線與圓相切，妙用切割線定理，幾乎不算而解.

五、構造切線

例5 (2017年全國卷Ⅱ理21題)已知函數f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)≥0恒成立，求a的值.

解注意到x>0，那么f(x)≥0恒成立等價于a(x-1)≥lnx對x∈(0,+∞)恒成立.

令h(x)=a(x-1),g(x)=lnx.易知h(x)的圖象是過定點A(1，0)的直線系.而點A(1，0)也恰好在函數g(x)的圖象上，那么由h(x)≥g(x)恒成立，知點A(1，0)應是兩者圖象的切點，因此直線斜率a應是曲線g(x)在點A(1，0)處的導數值.

點評本題無論是用最值法還是分離參數法，解法都很煩瑣.而挖掘出式子的幾何背景，由不等式a(x-1)≥lnx恒成立，轉化為曲線的切線，使隱蔽問題直觀化，稍算即解.

當然了，構造圖形的方法多種多樣，要由題目的不同而選用相應的圖形.解題的關鍵是能夠從題目的式子和問題中挖掘出圖形，這要求具有敏銳的觀察能力，豐富的想象能力，而這需要在平時的解題實踐中注意積累和總結升華.