多元導函數(shù)問題的解題策略

李 偉

(遼寧省鞍山市第三中學 114000)

函數(shù)與導數(shù)的綜合是全國卷數(shù)學高考試題壓軸21題唯一命題內(nèi)容.該題第二問號難度之大、區(qū)分度之高是數(shù)學試題具有選拔性的體現(xiàn).縱觀幾年來該題的命題特點，采取多元導函數(shù)的形式命題是重要途徑之一，所以從提高數(shù)學成績角度思考有必要對此類問題做一些探討，歸納、整理出相關題型，給出解決此類問題的方法和思考策略，下面通過五個示例，試圖概括出此類問題題型結構特點及解題策略，僅供參考.

一、數(shù)形結合

數(shù)形結合就是通過通過繪制其函數(shù)、方程的曲線，觀察提煉曲線其特征，將其進行代數(shù)化，從而達到問題的解決.

例1已知函數(shù)f(x)=lnx+(a-2)x-2a+4(a>0)，若有且只有兩個整數(shù)x1、x2，使得f(x1)>0，且f(x2)>0，則a的取值范圍是( ).

A.(ln3，2) B.(0，2-ln3)

C.(0，ln3) D.(2-ln3，2)

分析由于f(x)=lnx+(a-2)x-2a+4(a>0)是超越式，所以采取解不等式方法解決是不能的.進一步分析已知條件，知其含義就是函數(shù)圖象兩個交點的橫坐標之間包含兩個整數(shù)，所以，解題的思考是先尋求兩個函數(shù)，再討論有兩個交點.

練習題已知函數(shù)f(x)=x-alnx-1(a為常數(shù))的圖象與x軸有唯一公共點A.

(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間.

(2)曲線y=f(x)在點A處的切線斜率為a2-a-3，若存在不相等的正實數(shù)x1,x2，滿足|f(x1)|=|f(x2)|，證明：x1x2<1.

參考答案：a≤0時，(0，a)遞減；(a,+∞)遞增.a=1時，(0,+∞)遞增.

二、整體代換

整體代換就是將兩個變量的代數(shù)關系式看做一個整體，將其設為一個新的變量，從而轉化為一元問題，再借助一元問題的解題方法求解.

參考答案:D.

(2) 若關于x的不等式f(x)≤mx-1恒成立，求整數(shù)m的最小值. 答案：m=2

參考答案：(1)(0，1)；(2)m=2.

三、同構函數(shù)

通過轉化已知條件，或結論等手段，在觀察式子結構特點的前提下，把已知條件、或結論轉化為同一個函數(shù)取兩個不同自變量值時所呈現(xiàn)出的式子結構，再借助函數(shù)性質轉化為一元函數(shù)問題求解.

例3已知實數(shù)x,y滿足3x-y≤ln(x+2y-3)+ln(2x-3y+5)，則x+y=____.

分析觀察條件式的結構，注意到3x-y=(x+2y-3)+(2x-3y+5)-2,所以條件式可看做不等式lnt-t≥-1中取兩個不同值而得到.

略解因為3x-y=(x+2y-3)+(2x-3y+5)-2.所以，ln(x+2y-3)-(x+2y-2)+ln(2x-3y+5)-(2x-3y+5)≥-2.求導運算知函數(shù)f(t)=lnt-t的最大值為-1，所以只有l(wèi)n(x+2y-3)-(x+2y-2)=ln(2x-3y+5)-(2x-3y+5)=-1.

練習題：已知函數(shù)f(x)=x-alnx(a∈R)的極小值小于a.

(1)求實數(shù)a的取值范圍；

(2)是否存在正整數(shù)k，使得當a>k時，不等式aa+1>(a+1)a恒成立？若存在，求出最小的正整數(shù)k；若不存在，請說明理由.

參考答案:(1)a>1；(2)k=3.

四、消元法

消元法是通過尋求變量之間的常量關系，借助變量之間的常量關系實現(xiàn)用一個變量表示另一個變量，從而達到消元的目的.

例4已知函數(shù)f(x)=x2+mln(1+x),

(1)討論函數(shù)f(x)的單調性;

(2)若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1、x2，且x1

求證：2f(x2)>-x1+2x1ln2.

五、最值法

把所要解決的問題，轉化為通過函數(shù)的最值問題，通過函數(shù)最值之間的大小關系解決函數(shù)值之間的大小關系.

略解注意條件中x1,x2,x3的任意性，要證f(x1)+f(x2)≥f(x3)，只需證2fmin(x)≥fmax(x)即可.

當a≤1時，由2fmin(x)≥fmax(x)得a=1.

當1

當a≥e時，由2fmin(x)≥fmax(x)得e≤a≤4.

所以，1≤a≤4.

六、代入化簡

從化簡的角度出發(fā)，將復雜的式子直接代入，達到求解目的.

例6 已知函數(shù)h(x)=aex，直線l:y=x+1

(2)若函數(shù)h(x)=aex的圖象與直線l:y=x+1有兩個不同交點，求實數(shù)a的取值范圍;

(3)對于(2)的兩個交點橫坐標x1,x2及對應的a，當x1

分析(只給出(3)的分析)首先由(2)知：0-1.由已知得aex1=x1+1,aex2=x2+1，將上式代入2(ex2-ex1)-(x2-x1)(ex2+ex1)

略解略.

(1)討論函數(shù)f(x)的單調性;

(2)若函數(shù)f(x)存在兩個極值點x1,x2且滿足f(x1)+f(x2)>4，求a的取值范圍.

提示：由條件知x1,x2是方程f′(x)=0的兩個根，由韋達定理及f(x1)+f(x2) ，代入化簡即可得關于a的不等式，再借助求導即可解決.

參考答案：(2)1

上述介紹了六種多元導函數(shù)問題及解決策略，不論題型還是解法基本涵蓋多元導數(shù)問題，如果深刻理解上述示例，我想不僅對專題復習教學和學生成績提升一定帶來很多益處.