金屬晶體晶胞中原子空間利用率的計算

李春文

金屬晶體中原子堆積方式復雜，每種堆積中原子空間利用率不盡相同，掌握金屬晶體里晶胞中原子空間利用率對于解決所有晶胞的原子空間利用率問題具有觸類旁通的作用。研究金屬晶體里晶胞中原子空間利用率，首先應該掌握求算它的基本步驟：先找到晶胞中所含原子數，然后根據晶胞中緊鄰原子的位置關系找到原子半徑與晶胞邊長的關系，再根據空間利用率的求算方法即晶胞中原子所占的實際體積與晶胞中原子圍成的幾何圖形的體積之比，求得空間利用率。

一、簡單立方堆積

簡單立方堆積指的是相鄰非密置層原子的原子核在同一直線，上的堆積。這種堆積使晶胞結構為立方體型（如圖1所示），處于頂點的兩個原子緊鄰。

晶胞中所含原子數為8x（1/8）=1，該原子所占的實際體積為（4/3）πr3。由于處于頂點的兩個原子緊鄰，則原子半徑與晶胞邊長的關系為a=2r，那么晶胞中原子所圍成的立方體的體積為（2r）3，所以簡單立方堆積中原子空間利用率為

二、體心立方堆積

體心立方堆積指的是非密置層的另一種堆積方式，即將上層金屬原子填人下層的金屬原子形成的凹穴中，并使非密置層的原子稍稍分離。每層均照此堆積，這種堆積方式稱為體心立方堆積。這種堆積方式使處于體對角線上的原子緊鄰（如圖2所示）。

晶胞中所含原子數為8x1/8+1=2，則晶胞中所含原子的實際體積為

。由于處于體對角線的原子緊鄰，則原子半徑與晶胞邊長的關系為

，那么晶胞中原子圍成的幾何圖形的體積為

，所以體心立方堆積中原子空間利用率為

三、六方最密堆積

每層都是密置層堆積，堆積方式是將上層原子填入下層原子形成的凹穴中，這樣的堆積會得到兩種基本堆積方式，按ABABAB……的方式堆積稱為六方最密堆積;按ABCABCA……的方式堆積稱為面心立方最密堆積。

如圖3所示，在六方最密堆積的晶胞結構中，體內原子位于平行六面體的一半的體心，即正三棱柱的體心，該原子與上下6個原子緊鄰，則該原子與下面（或上面）3個原子構成正四面體結構。

平行六面體中，上下底面為菱形，內角分別為60°和120°，上下底面所占有的原子數為

，體內還有1個原子，則晶胞中所含原子數為2，那么原子的實際體積為

。在晶胞內部的正四面體結構中，設晶胞邊長為a，則a=2r。要想求晶胞體積，需要求晶胞的高。在正四面體結構中，底面邊長為2r，底面中心到頂點的距離

為

，則正四面體的高為h=

而平行六面體的高為正四面體的高的2倍，即

。平行六面體的底面積

，則平行六面體的體積為

。所以六方最密堆積中原子空間利用率為η=

四、面心立方最密堆積面心立方最密堆積就是每一層都是密置層堆積，按ABCABCABC……的方式堆積（已敘述），這樣的堆積使處于立方體面對角線上的原子緊鄰如圖4所示。晶胞中所含原子數為

，那么原子實際占有的體積為

。由于處于面對角線上的原子緊鄰，則原子半徑與晶胞邊長的關系為

，那么晶胞中原子圍成的幾何圖形的體積為

，所以該晶胞中原子空間利用率為

原子空間利用率的計算是選三的難點，亦是高考的難點，但它又不是無章可循。通過金屬晶體里晶胞中原子空間利用率的計算，以及金剛石晶胞中原子空間利用率的計算，不難看出，無論多復雜的晶胞結構，想計算原子空間利用率，必須先求得晶胞中原子個數及晶胞邊長與原子半徑的關系，要想知道晶胞邊長與原子半徑的關系，必須知道晶胞中原子堆積特點，即處于晶胞的什么位置上的原子緊鄰。