基于數學歸納法的空中加油輔機安排方案

舒倩 李康 翟銀娟

摘? 要：針對飛機空中加油的輔機安排問題，我們討論了如何通過最少的輔機數來實現往返運輸物品的要求，利用線性規劃和數學歸納法獲得了主機的最遠單程飛行距離與輔助發動機的數量之間的關系以及輔機的最佳組合方式，可以推廣到同類問題的解決上。

關鍵詞：空中加油;輔機;線性規劃;數學歸納

中圖分類號：V325? ? ? ? ?文獻標志碼：A? ? ? ? ?文章編號：2095-2945（2019）16-0115-02

Abstract： In view of the auxiliary arrangement of aircraft refueling in the air， we discuss how to realize the requirement of transporting goods to and from each other by minimizing the number of auxiliary aircraft. The relationship between the farthest one-way flight distance of the main engine and the number of auxiliary engines and the best combination of auxiliary engines are obtained by means of linear programming and mathematical induction， which can be extended to the solution of similar problems.

Keywords： air refueling; auxiliary engine; linear programming; mathematical induction

在現代許多戰爭和救援活動中，空中加油都發揮了不可替代的作用。空中加油是飛機在飛行過程中將燃油轉移到另一架飛機或多架飛機的過程[1]。當飛機發生意外時，比如設備故障、中彈等，在空中對飛機進行加油，可以幫助其順利返航。具體地說，空中加油的作用主要體現在：延長飛機的飛行距離，擴大其作戰半徑[2]。為了更簡明地研究問題，本文所建模型的條件為：一架主機與一定數目輔機從基地載物飛往待支援的小島，輔機可以給主機加油也可以給輔機加油，主機與輔機的速度和單位耗油相同且為常數;輔機與主機只起飛一次，從基地出發最終都要飛回基地且飛機去回途中不會因為偶然性因素停留或折返。

1 輔機安排模型

我們討論的輔機安排方案的原則是：（1）輔機給其他飛機的加油盡量多，使主機和后面工作的輔機油量更多，才能保證主機飛行距離盡可能大，從而容易找到最小的輔機數以滿足主機與輔機都能飛過去再飛回來;（2）輔機在加完油后剛好能飛回去，這樣既保證了輔機能飛回去又不至于造成資源的浪費。

我們對輔機數n為1到4的情況，分別用線性規劃求解了主機可保證順利飛回的最大單程飛行距離，并找出每種輔機數情況下的最佳組合。

2 結果分析

從以上結果可以看出輔機中n-m接m送與m接n-m送的結果是完全相同的。并且當n-m與m越接近時，主機的最大單程距離越大。為了進一步分析問題，我們通過數學歸納法得出當輔機數為奇數或者偶數時，主機最大單程距離Ln關于輔機數量n的關系式為：

經過MATLAB數學軟件仿真，我們可以得到最大單程傳輸距離與輔機數的關系如圖1所示。

已知小島與基地之間的距離y，我們要得到最佳輔機數，將y帶入上式即可解出合理值，并且當接送輔機數最接近時的方案為最佳方案。

3 結束語

本文建立了輔機數量安排和輔機位置規劃模型，可以得到有效空中加油的輔機安排的最佳方案。本文所進行的研究存在一定前提，關于模型的優化和推廣有待進一步研究。

參考文獻：

[1]侯玉燕.國外空中加油技術的發展和展望[J].飛行力學，1994（04）：14-22+50.

[2]陸宇平，楊朝星，劉洋洋.空中加油系統的建模與控制技術綜述[J].航空學報，2014，35（9）：2375-2389.