成批維修策略下雷達冗余系統可用度研究

孫兆康

(1．湖北工業大學電氣與電子工程學院， 湖北武漢 430068;2．湖北工業大學太陽能高效利用湖北省協同創新中心， 湖北武漢 430068;3．空軍預警學院， 湖北武漢430019)

0 引言

在許多相控陣雷達中，特別是大型相控陣雷達中，一方面這些雷達的使用可用度要求很高，如某大型相控陣雷達要求大于99%；另一方面，由于陣面龐大，T/R組件數量達到幾千乃至幾萬。由于雷達設備量很大，單個組件可靠性有限，使得雷達整機的基本可靠性很低，為了同時滿足高可用度和高可靠性要求，雷達中的許多分系統，如相控陣雷達的陣面分系統、大功率開關電源分系統等，越來越多地采用冗余設計(即使用k/N系統)。通過采用冗余設計，提高雷達的任務可靠性。然而，任務可靠性高不等于使用可用度就高，任務可靠性一定的情況下，使用可用度的高低取決于平均修復時間(MTTR)的長短，而維修方式、初始備件量、維修人員配置等因素對MTTR有顯著影響。也就是說在任務可靠性一定的情況下，使用可用度很大程度上取決于維修方式、初始備件量、維修人員配置等因素。為此本文將通過建模和仿真的方法研究這些因素對雷達使用可用度的影響，最終給出提高雷達使用可用度的途徑。

文獻[1]用定時截尾壽命試驗理論來處理k/N系統的故障時間數據和維修時間數據，分析了維修組數與系統停止工作時部件故障數相同情況下的使用可用度，但未考慮備件對系統使用可用度的影響；文獻[2]通過建立多態串并聯可控系統可用度的精確求解模型，研究了基于狀態維修模式下，通信指揮裝備的可用度評估問題，但對冗余系統考慮不足；文獻[3]針對現有備件冗余度建模中無限呼叫總體假設不合理、供應可用度計算困難的問題,提出一種k/N(G)結構系統初始備件配置方法，文章僅考慮了備件對使用可用度的影響；文獻[4]提出了當系統可用度較低，采用串件策略提高系統可用度的方法；文獻[5]給出了以備件購置費用為優化目標、裝備可用度為約束條件，構建了有限維修能力下的備件庫存優化模型，沒有考慮系統冗余設計；文獻[6]建立了m視情維修策略下k/N熱貯備系統的使用可用度模型，m維修策略是指當N個部件中失效數量達到m(0

1 使用可用度模型

設k/N熱貯備系統包含N個失效時間都服從參數為λ的指數分布且相互獨立的部件，至少需k個部件正常工作，系統才能正常運行。系統開始工作時，N個部件都工作，系統工作滿一段時間L后停止工作，開始拆卸和更換失效部件，停止工作時故障部件數為n，是一個隨機變量。系統使用單位有C1個部件拆卸安裝人員，C2個部件修理人員，S0個初始備件。每個拆卸安裝人員一次只能拆卸安裝一個故障件，拆卸、安裝時間都服從參數為v的指數分布。每個部件修理人員一次只能修理一個故障件，修理時間服從參數為μ的指數分布，可以獨立不間斷地工作，修復好的故障件可作為備件使用。故障件全部拆卸后，在部件修理人員進行修復的同時檢查備件數量，若此時的備件數量s大于故障件數量n，則進行安裝；若備件數量s小于故障件數量n，則等待維修人員修復安裝所需的剩余n-s個故障件。安裝完畢后，系統恢復正常工作，開始下一個工作周期。系統的運行過程如圖1所示。

圖1 系統運行過程圖

設L時間內系統平均工作時間為E(UL)(L時間內系統至少有k個部件正常工作的時間)，平均拆卸時間為E(R)，平均等待的備件時間為E(D)，平均安裝時間為E(I)，則系統的使用可用度可表示為

(1)

由于L已知，所以計算A0的關鍵是求解E(UL)、E(R)、E(D)及E(I)。

2 雷達使用可用度模型求解

2.1 計算E(UL)

由于t(0≤t≤L)時間內單個部件可靠性函數為e-λt，所以k/N系統的可靠性函數為

(2)

進而得到L時間內系統平均工作時間E(UL)為

(3)

2.2 計算E(D)

平均等待備件時間E(D)取決于以下3個因素：L時刻系統部件失效數n、失效部件全部拆卸時可用備件數s和修理剩余n-s個故障件的時間，可由式(4)表示：

PL(n)·π(s)

(4)

式中，E[RC2(n-s,S0-s+n)]為C2個部件修理人員修復總的S0-s+n個待維修故障件中n-s個的平均時間；π(s)為失效部件全部拆卸完畢時系統有s個可用備件的穩態概率；PL(n)為L時刻系統部件失效數為n的概率，服從參數為N和1-e-λt的二項分布，可由式(5)表示：

(5)

下面，求解E[RC2(n-s,S0-s+n)]。

令x=n-s，y=S0-s+n，x≤y，則E[RC2(x,y)]為C2個部件修理人員將總的y個待維修故障件中修復x個的平均時間。采用遞推法進行求解。遞推公式如下：

E[RC2(x-1,y-1)]

(6)

當x≤0，可以得出：

E[RC2(x,y)]=0

(7)

對于x>0，分為y≤C2，y>C2且x≤y-C2，y>C2且y-C2

當x>0且y≤C2時，表示所有待修部件數量y小于等于部件修理人員數量，可以得到：

(8)

當x>0，y>C2且x≤y-C2時，表示修復前x個故障件時剩余等待修復故障件數都大于部件修理人員數C2，由遞推公式可以得到：

(9)

當x>0，y>C2且y-C2

(10)

下面，求解π(s)。

設第f次全部拆卸完成時系統可用備件數量為s(f)，0≤sf≤S0，由于部件失效時間、拆卸時間、修復時間、安裝時間都服從指數分布，則第f+1次全部拆卸完成時系統可用備件數量s(f+1)僅與s(f)有關，所以，{s(f),f=1,2,…}形成一個馬爾可夫鏈。

用pij表示從第f次全部拆卸完成時系統可用備件數量s(f)為i的狀態轉移到第f+1次s(f+1)為j的狀態的轉移概率，即

pij=P{s(f+1)=j|s(f)=i}

(11)

根據馬爾可夫鏈理論，可以得到π(s)與pij的關系式如下：

(12)

由式(12)可知，求解π(s)的關鍵是得出狀態轉移概率pij。

定義Pr(a,b,C2,t)為時間t內，C2個部件修理人員通過維修將總故障部件數量從a減少到b的概率。由文獻[7]可知：

(13)

在失效部件拆卸數量為n且拆卸全部完成時可用備件為i時，所有等待修復的失效部件總數為S0-i+n。若i

因此，狀態轉移概率pij可表示為

(14)

將式(14)代入式(12)可求出π(s)，在此基礎上，聯合式(4)可求解出平均等待備件時間E(D)。

2.3 計算E(R)和E(I)

部件的拆卸是安裝的反方向，在拆卸、安裝部件數量相同且拆卸、安裝人員數量相同時，拆卸時間可近似等于安裝時間。當單個部件拆卸(安裝)時間服從參數為v的指數分布且拆卸(安裝)人員為C1時，平均拆卸時間E(R)或安裝時間E(I)可由式(15)表示：

(15)

3 雷達陣面使用可用度實例分析

某相控陣雷達陣面模塊為116/128熱貯備系統(本文方法適用于更大陣面的情況，為仿真計算方便以較小的雷達陣面為例進行分析)，模塊中各部件的失效時間服從λ=0.000 08h-1指數分布，拆卸和安裝時間服從參數為v=2h-1指數分布，修復時間服從參數為μ=0.006h-1指數分布。下面討論系統停機前工作時間L、初始備件數量S0、部件修理人員數C2對使用可用度的影響。

實驗1：假設部件拆卸安裝人員數C1=1，系統停機前工作時間L=100 h，部件修理人員數C2的取值范圍為[1，4]，初始備件數量S0的取值范圍為[1，10]。得出C2與S0對使用可用度A0的綜合影響如圖2所示。

圖2 C2與S0對A0的綜合影響

由圖2可知，在部件拆卸安裝人員數C1和工作時間L保持固定時，當部件修理人員數C2的取值較小時(C2=1)，增大S0只能有限增加使用可用度值，要大幅度增加使用可用度需增大C2值；而當C2的取值大于2時，增加C2對使用可用度值的提升作用較小，而增大S0(S0≤5時)可大幅提升使用可用度值。

下面，選取大于2的C2值，分析在部件維修能力足夠強時，初始備件數量S0、停機前工作時間L對使用可用度A0的綜合影響。

實驗2：假設部件拆卸安裝人員數C1=1，部件修理人員數C2=3，系統停機前工作時間L以步長24 h在24 h到240 h區間內變化，初始備件數量S0的取值范圍為[1，4]。得出S0與L對使用可用度A0的綜合影響如圖3所示。

圖3 S0與L對A0的綜合影響

由圖3可知：在部件維修能力足夠大條件下(C2>2)，當停機前工作時間L固定時，使用可用度值隨著初始備件數量S0的增大而增加，但增加的幅度趨于緩和；當初始備件數量S0固定時，使用可用度值并不隨時間L單調變化，而是先增大再減小，存在一個最佳L值使使用可用度值最大。

綜合實驗1和2，可以得到以下結論：

1)在部件維修能力不足的條件下(C2≤2)，使用可用度值將停留在一個較低的水平，且此時初始備件數量S0、停機前工作時間L對提高使用可用度值幫助不大。

2)在部件維修能力足夠大的條件下(C2>2)，若想保持較高的使用可用度值，初始備件數量S0也不應太小，應配置一定數量的備件。

3)在備件數量S0、部件修理人員數C2都充足的情況下，應合理選取時間L值以保證使用可用度值最大，因為使用可用度值并不隨時間L單調變化。

4 結束語

本文給出了定期成批維修策略下k/N系統使用可用度模型，通過實例分析了停機前工作時間L、初始備件數量、部件修理人員數量等因素對系統使用可用度的影響。該模型可以為k/N系統保障方案的制定、保障資源的規劃提供決策支持。