正、余弦定理在高考中的應用

張雁

摘 要?《解三角形》是中學數學教學中的重要組成部分，是高考的必考內容，考題一般屬于中檔難度類型。正、余弦定理在解三角形問題中，溝通了三角函數與三角形有關性質，反映了事物之間的內在聯系及一定條件下的相互轉化的關系。

關鍵詞?正、余弦定理;應用

中圖分類號：B027 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2019）02-0178-01

正余弦定理是反映三角形中邊與角之間關系的兩個重要定理，其主要作用是將已知條件中的邊、角關系轉化為角的關系或邊的關系，對它們進行靈活應用。在解題的使用過程中會感到一種新奇與愉悅，同時也給眾多題目找到了“同一根源”。從知識的網絡結構上看，正、余弦定理是三角公式及變換的延續(xù)和應用，也是對三角形面積公式等運用的一種拓展。

一、解三角形，即利用已知邊、角，求其余邊長或角問題

正、余弦定理最常見的應用就是這一種，綜合題中一般會需要使用到三角恒等變型公式對已知條件進行化簡（化簡過程中等式兩邊有公因式時，要懂得移項提公因式）。

例1：已知△ABC（圖1）中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c。若a=c=+，且∠A=75°，則b=（ ）

A.2?????B.4+2?????C.4-2?????D.-

分析：解三角形中，正弦定理的兩類最常見的應用：①已知兩邊及其中一邊所對的角，求其余邊與角;②已知兩角和一邊，求其余邊與角;該題算是最基礎的應用。

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例2：△ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=，分別在邊AB、BC、CA上取點D、E、F，使△DEF是等邊三角形（如圖2）。設∠FEC=，問為何值時，△DEF的邊長最短？并求出最短邊的長。

分析：本題旨在建立邊長關于角的目標函數，求最短邊的長。在三角形中，已知兩角一邊求其它邊，自然應聯想到正弦定理。

解：設△DEF的邊長為，顯然∠=90°，∠=60°，故EC=。因為∠DEC=∠DEF+=∠EDB+∠B，所以∠EDB=。在△BDE中，由正弦定理得，所以，因為，所以，所以當，即時，即時，。

二、判定三角形的形狀

在正、余弦定理中判斷三角形形狀是本知識應用的重點和難點，主要有以下兩種應用：（1）利用正、余弦定理把已知條件轉化為邊邊關系，通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀;（2）利用正、余弦定理把已知條件轉化為內角的三角函數間的關系，通過三角函數恒等變形，得出內角的關系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應用A+B+C=π這個結論。

例3：在△ABC中，若，試判斷△ABC的形狀。

分析：判斷三角形的形狀的基本思想是利用正、余弦定理進行邊角的統(tǒng)一，即將條件化為只含角的三角函數關系式，然后利用三角恒等變換得出內角之間的關系式;或將條件化為只含有邊的關系式，然后利用常見的化簡變形得出結論。本題中的已知條件中涉及到了幾乎所有邊角，為了研究方便，我們應當利用邊化角、角化邊方法盡量減少多余的角、邊。即，將已知條件化為只含有邊或者只含有角的關系式，即，配合三角恒等變型公式或三角形內角和定理等將結果化為邊（或角）的關系得出，最后得出三角形形狀的結果即△ABC為等腰三角形或直角三角形。

三、求三角形的面積問題

解三形問題是高考大題常考的重點內容，通常放在第17題，占12分。兩小題中第（1）小題通常是求邊、角問題，第（2）小題是和三角形面積相關的問題。

例4：在△ABC中，角A，B，C對應的邊分別是a，b，c，已知cos2A-3cos（B+C）=1。

（1）求角A的大小;（2）若△ABC的面積S=5，b=5，求sinBsinC的值。

分析：三角形的面積求法最常用的是利用公式去求。計算時注意整體運算及正、余弦定理的應用。本題因考慮化簡，將已知條件中涉及三個角轉化為兩角，得，輕松得出或，因為，所以。（2）由，得知，故。得。

四、結束語

正、余弦定理應用是高考必考的考點，其變型式及三角恒等變型式的使用是學生學習的一大難點。在這里提及的正余弦定理的幾大應用可以讓學生多了解該知識主要考查方向及考查重點。一方面考查正、余弦定理在求三解形有關量中的綜合應用，另一方面考查利用正、余弦定理解決實際測量和幾何計算有關的實際問題的能力，有時會和向量結合考查三角函數等變形等，一般屬于中檔題的它大約要用5-10分鐘的時間解決。這需要學生多練習、多積累、多歸納，以熟練掌握該知識的應用。