一次函數(shù)圖像中行程問(wèn)題的新解法

何貽勇

【摘要】本文就2018年重慶中考數(shù)學(xué)試題A卷中18題一次函數(shù)圖像行程問(wèn)題為例，做出了通性通解方法的介紹，提出了教學(xué)中應(yīng)注意的幾點(diǎn)建議.

【關(guān)鍵詞】一次函數(shù)圖像;行程問(wèn)題;線(xiàn)段示意圖

學(xué)生解答這一問(wèn)題時(shí)，一是不能明確運(yùn)動(dòng)對(duì)象的總過(guò)程與函數(shù)圖像之間的關(guān)系，即讀不懂圖像中的已知點(diǎn)、交點(diǎn)、拐點(diǎn)、變化趨勢(shì)等，從而不能清晰地分析出速度、時(shí)間、路程的關(guān)系;二是超大的信息量，讓學(xué)生難以從圖像中調(diào)取有效信息解決問(wèn)題;三是學(xué)生畫(huà)本文的線(xiàn)段分解示意圖操作不熟練.

題目 （2018年重慶A卷）A，B兩地相距的路程為240米，甲、乙兩車(chē)沿同一線(xiàn)路從A地出發(fā)到B地，分別以一定的速度勻速行駛，甲車(chē)先出發(fā)40分鐘后，乙車(chē)才出發(fā)，途中乙車(chē)發(fā)生故障，修車(chē)耗時(shí)20分鐘，隨后，乙車(chē)車(chē)速比發(fā)生故障前減少了10千米/時(shí)（仍保持勻速前行），甲、乙兩車(chē)同時(shí)到達(dá)B地.甲、乙兩車(chē)同時(shí)到達(dá)B地，甲、乙兩車(chē)相距的路程y（千米）與甲車(chē)行駛時(shí)間x（小時(shí)）之間的關(guān)系如圖所示，求乙車(chē)修好時(shí)，甲車(chē)據(jù)B地還有千米.

解析 本題是一道“單線(xiàn)”型問(wèn)題，甲、乙兩車(chē)的運(yùn)動(dòng)速度有變化，讀懂圖像中的每一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，將題干中描述的運(yùn)動(dòng)過(guò)程與圖像匹配起來(lái)非常關(guān)鍵，但是由于要記憶和理解的信息量比較多，整個(gè)思考過(guò)程較為抽象，因此，本題采取畫(huà)線(xiàn)段分解示意圖的辦法進(jìn)行解決.

操作步驟：第一步審題，粗讀問(wèn)題大“環(huán)境”，用不同的符號(hào)標(biāo)注題干中的已知量、未知量、數(shù)量關(guān)系，細(xì)讀整個(gè)過(guò)程的敘述，橫縱坐標(biāo)軸的實(shí)際意義，圖文結(jié)合讀取關(guān)鍵點(diǎn)（已知點(diǎn)、交點(diǎn)、拐點(diǎn)）的意義，明確每一段折線(xiàn)段所對(duì)應(yīng)的過(guò)程及結(jié)論的目標(biāo)待求式，本題的目標(biāo)待求式為甲的速度與最后一個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的時(shí)間的乘積.第二步提取相關(guān)的已知數(shù)據(jù)和二級(jí)結(jié)論，根據(jù)題干信息就可以標(biāo)注橫軸、縱軸上的部分已知量，能直接提取的數(shù)據(jù)是過(guò)程①中甲的速度為：v甲=（30-0）÷23-0=45（千米/時(shí)），但不能直接計(jì)算出結(jié)果.第三步畫(huà)線(xiàn)段分解示意圖，若第一、二步的分析過(guò)程較為抽象復(fù)雜，難以理清關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可根據(jù)初步的審題和判斷嘗試將每一個(gè)過(guò)程所對(duì)應(yīng)的線(xiàn)段示意圖畫(huà)出來(lái)，如下圖，圖像中每一折線(xiàn)段標(biāo)記為一個(gè)過(guò)程，然后在示意圖上相對(duì)應(yīng)地批注好序號(hào)，甲的線(xiàn)段用實(shí)線(xiàn)箭頭表示，乙的用虛線(xiàn)箭頭表示，每一個(gè)過(guò)程的起始位置就是上一個(gè)過(guò)程的結(jié)束位置.第四步計(jì)算，過(guò)程①、②的數(shù)據(jù)較為集中，即可求出乙的速度，從數(shù)據(jù)較集中的地方突破切入，再根據(jù)每個(gè)小過(guò)程的數(shù)據(jù)順勢(shì)逆推或順推其他信息以求解答，在解答過(guò)程中可以將每一步計(jì)算操作標(biāo)注在過(guò)程旁邊.第五步檢驗(yàn)，檢查計(jì)算結(jié)果是否正確和符合題意.

計(jì)算任務(wù)操作1：由過(guò)程①得，v甲=30-023-0=45（千米/時(shí)）

計(jì)算任務(wù)操作2：由過(guò)程②得，v乙-v甲=30-102-23=15（千米/時(shí)）

所以，v乙=60千米/時(shí)，v乙′=50（千米/時(shí)）

計(jì)算任務(wù)操作3：由全過(guò)程得t甲=24045=163（小時(shí)）

計(jì)算任務(wù)操作4：設(shè)過(guò)程⑥的時(shí)間為t時(shí)，則由過(guò)程④⑤⑥的路程關(guān)系得（50-45）t=45163-223-t-60163-223-13-t

解得t=2.

計(jì)算任務(wù)操作5：由過(guò)程⑥得，甲車(chē)距B地還有45×2=90（千米）.

綜上所述，線(xiàn)段分解示意圖的方法的優(yōu)勢(shì)在于將每一段折線(xiàn)段所表示的一種變化規(guī)律的過(guò)程單獨(dú)呈現(xiàn)出來(lái)便于理解，又能迅速地捕捉其中的小過(guò)程之間路程數(shù)量關(guān)系（上下平移線(xiàn)段）以及每一個(gè)過(guò)程內(nèi)的時(shí)間永恒相等關(guān)系，在解題時(shí)既可以從小過(guò)程對(duì)集中的數(shù)據(jù)進(jìn)行局部分析，也可以從全過(guò)程對(duì)零散的數(shù)據(jù)進(jìn)行整體分析，甚至根據(jù)題意還可增添“子過(guò)程”輔助解答問(wèn)題.如何快速地畫(huà)好這個(gè)線(xiàn)段示意圖，不僅邏輯思維很重要，解題習(xí)慣和建模意識(shí)也很重要，比如，根據(jù)線(xiàn)段的上升（下降）趨勢(shì)來(lái)判斷誰(shuí)的速度快或誰(shuí)先到達(dá);每個(gè)過(guò)程中的批注;將整個(gè)過(guò)程分成若干個(gè)小過(guò)程，利用行程問(wèn)題的基本模型從數(shù)據(jù)較集中的地方切入，利用方程的思想計(jì)算出來(lái).因此，對(duì)學(xué)生從函數(shù)圖像中捕捉信息的能力，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析、加工、提煉的能力要求較高，建議教師一方面，在平時(shí)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生逐步形成利用函數(shù)知識(shí)認(rèn)識(shí)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，促使他們使用深入而牢固的函數(shù)、方程等數(shù)學(xué)思想，另一方面，在引導(dǎo)學(xué)生解決較為復(fù)雜的一次函數(shù)圖像中的行程問(wèn)題時(shí)，多使用通性通解的辦法，一步一步地操作，熟能生巧，最終內(nèi)化為解決問(wèn)題的能力.

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉永東，李蕓.2014年中考數(shù)學(xué)試題“函數(shù)”分類(lèi)解析[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育：初中版，2015（1）：43-56.

[2]陳明儒.教應(yīng)有“方”學(xué)才有“效”——以行程問(wèn)題為背景的一次函數(shù)圖像信息題為例[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育：初中版，2014（3）：51-56.