高中數學直觀想象素養的培養

鄭漢聰

【摘要】在建立以學生為主體的數學學習活動中，直觀想象有利于促進學生的知識與能力形成，有利于提高學生分析和解決問題能力，從而養成良好數學思維習慣、創新意識以及欣賞數學之美.

【關鍵詞】高中數學;直觀想象

《普通高中數學課程標準（2017年）》著重提出要培養學生的數學核心素養，無論進行怎樣的課程改革，如果要用一句話描述數學教育的根本，那就是培養學生的“數學直觀”.因為數學的結論是“看”出來的，不是“證”出來的，依賴的是“數學直觀”，要如何培養學生的數學直觀想象素養呢？筆者結合自身經驗，談談對數學直觀素養的培養.

一、更新教學觀念，改變學習方式

高中數學新課標要求學生能夠積極主動地學習數學知識，內容包括：學生在學習數學知識時，不能僅僅進行數學知識的被動接收、記憶以及模仿，還應該在學習過程中注重合作交流、自主探索、閱讀自學等主動的數學學習方式.為了實現對高中生數學學習能力培養的要求，需要學生改變傳統的數學學習方式.具體到高中生數學直觀能力的培養方面，更應該要求學生能夠抓住數學直觀性思維的精髓.如，可以借助于計算機技術的優勢，讓學生非常快速地將一些函數、代數關系等直接轉換成圖形等直觀模式，通過學生在自主探索中發現直觀性思維的特點，以及與同學進行信息溝通與交流來快速掌握數學直觀這種思維方式.

二、培養學生使用直觀思維理解題目意思

有些數學題內容抽象，關系復雜，給我們理解題意增添了困難，使正常的思維難以進行到底.對這類題目，要借助圖表或圖像的直觀分析理解題意，有助于將抽象內容形象化，復雜關系條理化.使思維有相對具體的依托，便于深入思考，發現解題線索.

例1 （2010年福建卷文科22題）已知函數f（x）=13x3-x2+ax+b的圖像在點P（0，f（0））處的切線方程為y=3x-2.

（Ⅰ）求實數a，b的值;

（Ⅱ）設g（x）=f（x）+mx-1是[2，+∞）上的增函數.

（ⅰ）求實數m的最大值;

（ⅱ）當m取最大值時，是否存在點Q，使得過點Q的直線若能與曲線y=g（x）圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等？若存在，求出點Q的坐標;若不存在，說明理由.

解析 第（Ⅰ）問相對簡單，容易求得實數a=3，b=-2.第（Ⅱ）問的（ⅰ），由“g（x）=f（x）+mx-1是[2，+∞）上的增函數”可得g′（x）≥0在[2，+∞）恒成立，求得m的最大值為3;

第（Ⅱ）問的（ⅱ）難度較大，“是否存在點Q，使得過點Q的直線若能與曲線y=g（x）圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等”，這句話是什么意思，如何理解？我們對題目意義可以從直觀上予以理解，不難得知：

（1）函數y=g（x）的圖像不變，直線在變;

（2）直線在變，但直線與曲線y=g（x）圍成兩個封閉圖形的面積總相等;

（3）如何才能總相等？

顯然，只有當直線過函數圖像的中心.

至此，問題明朗.只要判斷函數是否為中心對稱圖形？若是，則所找的點即為函數圖像的中心.

接下來，我們考查函數的解析式.可以把函數g（x）=13x3-x2+3x-2+3x-1看作是由函數h（x）=13x3-x2+3x-2和函數φ（x）=3x-1復合而成的.由于三次函數存在對稱中心，反比例函數也存在對稱中心，所以我們只要判斷h（x）和φ（x）的中心一致即可.

如何判斷呢？還得從直觀意義上理解.

直觀1：由于g（x）存在唯一的極大值點x=0與唯一的極小值點x=2，感知圖像上的點P（0，-5）與Q2，173連線的中點1，13，即為y=g（x）的對稱中心.

直觀2：由分式函數φ（x）=3x-1的結構特征，知其對稱中心的橫坐標為1，進而感知y=g（x）的對稱中心的橫坐標為1，只需證g（x）+g（2-x）為定值.

直觀3：由于三次函數h（x）=13x3-x2+3x-2的對稱中心為1，13，感知這應該也是y=g（x）的對稱中心，只需證g（x）+g（2-x）為定值即可.

三、加強數形結合方法在直觀想象的應用

數形結合是變換的一種，它是語言、符號信息和形象信息的轉換，教師在數學教學時，應該注意引導學生從抽象代數以及直觀幾何兩個方面的相互表征，注意數學知識中數與形的相互表征.

例2 求函數y=sinx-2cosx的值域.

解析 本題除了可以用三角函數有界求最值外，還可以根據函數式的特點，直觀想象到過兩點的直線的斜率公式，將原式中的y看作為過定點（0，2）與動點（cosx，sinx）的直線的斜率.其中動點（cosx，sinx）在圓x2+y2=1上，根據圓的相關知識容易求出y∈（-∞，-3]∪[3，+∞）.

四、注重實物模型演示直觀想象

空間想象能力是直觀想象素養的重要組成成分，空間想象能力的培養是學生直觀想象素養水平提升的前提保障.空間想象力是人們對幾何體的抽象思維品質.眾所周知，形象化的實物模型對抽象的幾何概念的學習有著舉足輕重的作用.因此，在教學過程中，教師要注重借助實物模型，促進學生對空間幾何體的認識歷經由直觀感知、直觀表象、直觀想象的過程，從而發展學生的空間想象能力.

總之，在教學過程中，教師要根據學生實際、結合教材具體內容，采取適當的直觀手段，將對教學效果和學生的素質的全面發展有顯著的促進作用.

【參考文獻】

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