抽樣分布的若干反例

張幗奮

【摘要】數理統計中有三大分布，χ2分布，t分布和F分布，這三個分布的定義中要求隨機變量之間相互獨立，一旦相互獨立的條件不滿足，那么得到的隨機變量函數就不再服從原來的分布;又比如，在正態總體下，樣本均值與樣本方差是相互獨立的，如果沒有正態總體這個條件，樣本均值與樣本方差就不一定獨立.本文針對這些問題，列舉若干反例加以說明.

【關鍵詞】χ2分布;t分布;F分布;正態總體;獨立性

【基金項目】在線開放課程開發（2016），高等教育出版社.

一、引 言

在《概率論與數理統計》[1]教材或課程中都會提到數理統計的三大分布：χ2分布、t分布和F分布.它們是數理統計的基礎，在剛開始學習的時候，有不少同學并不太注意定義中獨立的條件.那么，如果把獨立的條件去掉，會出現什么情況呢？這就是本文想要說明的，通過若干具體的例子，提醒我們定義中獨立的條件是不可缺少的.另外，在學習抽樣分布時，我們知道，如果是正態總體，那么樣本均值與樣本方差是相互獨立的.但這個定理的證明相對來說比較復雜，所以多數學生只知道樣本均值與樣本方差獨立，而沒有注意前提是正態總體，一旦失去這個前提，樣本均值與樣本方差就不一定獨立了.下面我們就針對以上問題一一給出反例加以說明.