“數(shù)值分析”課程中教學(xué)與科研的有效結(jié)合

鄧重陽 張智豐 李亞娟

【摘要】根據(jù)數(shù)學(xué)專業(yè)本科生與研究生開設(shè)“數(shù)值分析”這門課程的實際情況，結(jié)合筆者的科研實際，從鼓勵學(xué)生參與教師科研項目，引導(dǎo)學(xué)生申請科研項目，幫助學(xué)生利用相關(guān)教材知識發(fā)表科研論文三個方面，促進教學(xué)與科研的有效結(jié)合.

【關(guān)鍵詞】數(shù)值分析;結(jié)合科研;教學(xué)

【基金項目】杭州電子科技大學(xué)2016年研究生核心課程項目（數(shù)值分析）;浙江省高等教育課堂教學(xué)改革項目（《數(shù)值分析》課程混合式教學(xué)模式的設(shè)計與實踐）;杭州電子科技大學(xué)2018年度信息化課程建設(shè)項目（計算幾何初步）.

數(shù)值分析（Numerical Analysis），又稱數(shù)值計算方法，是一門研究并分析眾多數(shù)學(xué)問題的數(shù)值計算方法和理論，進而能夠用計算機程序來實現(xiàn)求解數(shù)學(xué)問題的課程.它是計算數(shù)學(xué)的主體部分，涉及數(shù)學(xué)的各個分支，比如，泛函分析、高等代數(shù)、算法設(shè)計等內(nèi)容[1，2]，綜合性非常強.數(shù)值分析的應(yīng)用非常廣泛.計算太空飛船的運動軌跡用到的常微分方程數(shù)值解、計算機模擬汽車撞擊時用到的偏微分方程的數(shù)值解、股票、基金中計算市值或預(yù)測走勢時用到的各種數(shù)值分析工具、保險公司精算分析時用到的數(shù)值軟件、航空公司計算飛機架次的分配、票價的定義、機上人員的分配等用到的數(shù)值分析軟件，都屬于“數(shù)值分析”這門課程的內(nèi)容.

“數(shù)值分析”的內(nèi)容比較煩瑣，有很多復(fù)雜的公式，其理論分析對學(xué)生的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)要求也比較高.這些公式適合計算機編程，但對學(xué)生的學(xué)習(xí)卻造成了很大的麻煩.如何讓學(xué)生記憶、理解、掌握這些內(nèi)容，筆者嘗試從教學(xué)與科研的有效結(jié)合入手來幫助學(xué)生學(xué)好“數(shù)值分析”.

一、鼓勵學(xué)生參與教師科研項目

發(fā)揮科研項目的育人功能一直是高校教育教學(xué)工作中值得進一步探索的問題.由于“數(shù)值分析”應(yīng)用的廣泛性，幾乎所有國家、省自然科學(xué)基金項目都會涉及“數(shù)值分析”的內(nèi)容，所以把“數(shù)值分析”課程的內(nèi)容結(jié)合到教師的科研項目之中是一個非常好的突破口.為了強化“數(shù)值分析”課的實踐環(huán)節(jié)，加強學(xué)生的科研意識，筆者鼓勵班級學(xué)生以“數(shù)值分析”課程的內(nèi)容為基礎(chǔ)參與教師的科研項目.通過引導(dǎo)學(xué)生利用教材中的知識點進行深入思考，理論驗證，程序?qū)崿F(xiàn)以及教師的點對點指導(dǎo)，使學(xué)生真正參與到科研項目的研究之中來.例如，筆者的國家自然科學(xué)基金面上科研項目“高階連續(xù)的插值型細分方法及其局部算子的創(chuàng)建”（批準(zhǔn)號：61370166）中在計算2n點插值細分法的新點公式時，需要用到“數(shù)值分析”中的經(jīng)典內(nèi)容：拉格朗日插值基函數(shù).通過引導(dǎo)學(xué)生比較2n+2點插值細分法與2n，2n-2點插值細分法新點計算公式的異同，尋找它們之間的遞推關(guān)系，從而構(gòu)造局部算子來實現(xiàn)任意的2n點插值細分法.

二、引導(dǎo)學(xué)生申請科研項目

為進一步鼓勵學(xué)生進行科學(xué)技術(shù)研究和從事發(fā)明創(chuàng)造，推動大學(xué)生科研能力的提高與科研意識的培養(yǎng)，省、學(xué)校和學(xué)院每年都會開展大學(xué)生科研課題立項申報工作.從參與教師的科研項目著手，調(diào)研學(xué)生專業(yè)背景，研究該方向與數(shù)值分析相關(guān)的熱點問題及未來的發(fā)展方向，積極引導(dǎo)學(xué)生申請學(xué)院或者學(xué)校的學(xué)生科研項目，實現(xiàn)相應(yīng)課題目標(biāo).學(xué)生可以從中真正了解如何從事科研工作，怎樣從數(shù)值分析的基礎(chǔ)知識入手，再進一步深入了解、掌握、計算、模擬、實現(xiàn)，直到最終完成一個科研項目.這個方法可以幫助學(xué)生更加清晰地了解“數(shù)值分析”這個專業(yè)課以及專業(yè)課在學(xué)生專業(yè)里的未來發(fā)展前景，為學(xué)生之后真正參與科研活動奠定一個良好又扎實的專業(yè)基礎(chǔ).近年來，已指導(dǎo)學(xué)生申請到浙江省新苗計劃2項.

三、幫助學(xué)生利用相關(guān)教材知識發(fā)表科研論文

無論是參與科研項目，還是自己申請學(xué)生科研項目，很多情況下發(fā)表科研論文是需要完成的任務(wù)之一.比如，用迭代法解線性方程組是數(shù)值分析中很基礎(chǔ)的理論知識，高斯-塞德爾迭代法（Gauss.Seidel，GS）更是迭代法中最經(jīng)典的算法之一.在計算機輔助幾何設(shè)計相關(guān)研究工作里，利用迭代法解決問題一直占有舉足輕重的地位，其中，漸進迭代逼近（Progressive Iteration Approximation，PIA）是一種將數(shù)據(jù)點擬合成為曲線或曲面的技術(shù).

在高斯-塞德爾迭代法的授課過程中，在考查PIA方法與解線性方程組的經(jīng)典迭代法之間的聯(lián)系時，筆者發(fā)現(xiàn)，如果每次迭代的時候，能把已經(jīng)更新的點繼續(xù)參與到迭代過程中去，高斯-賽德爾迭代法也可以看作是一種PIA方法.利用該算法的這種特點，即已經(jīng)更新的點繼續(xù)參與到迭代過程中來，以此來優(yōu)化迭代過程，筆者引導(dǎo)學(xué)生把這個算法應(yīng)用到非均勻三次B樣條曲線的插值上來，開發(fā)了GS-PIA算法，該算法同時也具有漸進式迭代逼近方法的優(yōu)點，比以前PIA方法的存儲量更小，收斂速度也更快，而且具有非常明顯的幾何意義.

最后，引導(dǎo)學(xué)生利用教材相關(guān)知識給出了嚴(yán)格的收斂證明過程，若干結(jié)果已經(jīng)被相關(guān)期刊發(fā)表或錄用.作為理工科高年級本科或研究生的一門基礎(chǔ)課，“數(shù)值分析”能與大量的科研問題及科研項目結(jié)合.筆者在這方面做了初步的嘗試，也取得了一些可喜的成效.如何進一步把“數(shù)值分析”與科研實踐相結(jié)合，充分發(fā)揮教學(xué)與科研的協(xié)同育人功能，是我們要進一步探討的課題.

【參考文獻】

[1]黃云清，舒適，陳艷萍，金繼承，文立平.數(shù)值計算方法[M].北京：科學(xué)出版社，2009.

[2]李慶揚，王能超，易大義.數(shù)值分析（第五版）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008.

[3]韓旭里.數(shù)值分析[M].北京：高等教育出版社，2011.

[4]劉曉艷，鄧重陽.非均勻三次B樣條曲線插值的GS-PIA算法[J].杭州電子科技大學(xué)學(xué)報，2015（2）：79-82.

[5]王志好，李亞娟，鄧重陽.GS-PIA算法的收斂性證明[J].計算機輔助設(shè)計與圖形學(xué)學(xué)報，2018（11）：60-66.