二重極限的計(jì)算方法總結(jié)

摘? 要：函數(shù)的極限求解是高等數(shù)學(xué)中比較重要的一個(gè)問(wèn)題，由于自變量個(gè)數(shù)的增加和極限趨近路徑的任意性，二重極限的求解相較于一元函數(shù)的極限問(wèn)題更加復(fù)雜。一般情況下，高等數(shù)學(xué)教材中關(guān)于二重極限的求解都比較簡(jiǎn)單，對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)比較抽象。該文從不同角度介紹了6種不同的求解二重極限的方法，并給出了相應(yīng)的例題及解析，拓寬了初學(xué)者的求解思路，給予了初學(xué)二重極限者一定的啟發(fā)。

關(guān)鍵詞：二元函數(shù)? 二重極限? 連續(xù)

中圖分類(lèi)號(hào)：O172? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)：1672-3791（2019）03（b）-0239-02

1? 預(yù)備知識(shí)

1.1 二元函數(shù)的定義

定義1? 設(shè)D是平面上的一個(gè)非空點(diǎn)集，如果對(duì)于D內(nèi)的任一點(diǎn)，按照某種法則f，都有唯一確定的實(shí)數(shù)Z與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)f是D上的二元函數(shù)，它在點(diǎn)處的函數(shù)值記為f，即Z=f，其中稱(chēng)為自變量，Z稱(chēng)為因變量。點(diǎn)集D稱(chēng)為該函數(shù)的定義域，數(shù)集稱(chēng)為該函數(shù)的值域。

1.2 二重極限的定義

定義2? 設(shè)函數(shù)Z=f的定義域?yàn)镈，是平面內(nèi)的定點(diǎn)。若存在常數(shù)A，，，當(dāng)點(diǎn)時(shí)，恒有，則稱(chēng)常數(shù)A為二元函數(shù)f當(dāng)時(shí)的極限（也稱(chēng)為二重極限），記作或，也可記作或。

注意：（1）在該定義中，函數(shù)只需在點(diǎn)的某一去心鄰域內(nèi)有定義即可，極限值A(chǔ)與函數(shù)在該點(diǎn)是否有定義無(wú)關(guān)。

（2）二重極限的存在性與自變量趨近的路徑無(wú)關(guān)。由于二重極限定義中的動(dòng)點(diǎn)P趨向于點(diǎn)的方式是任意的，因此在一個(gè)平面上的點(diǎn)趨向于P0點(diǎn)的方式就有無(wú)窮多種，這比一元函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限只有左右兩側(cè)的情形要復(fù)雜得多。

（3）如果動(dòng)點(diǎn)P沿著兩條不同的路徑趨向于時(shí)，函數(shù)值趨向于不同的常數(shù)，那么二重極限不存在。

2? 二重極限的求法

2.1 利用二重極限的定義驗(yàn)證二元函數(shù)的極限

2.2 利用二元函數(shù)的連續(xù)性求二重極限

2.4 利用一元函數(shù)極限中的特殊極限求二重極限

2.6 利用一元函數(shù)極限的性質(zhì)求二重極限

3? 結(jié)語(yǔ)

二重極限與一元函數(shù)的極限既有區(qū)別又有聯(lián)系，只有掌握了最基本的求解方法，才能對(duì)癥下藥，解決具體問(wèn)題。因此對(duì)于初學(xué)者，一定要根據(jù)函數(shù)表達(dá)式的具體情況，通過(guò)多做題和多練習(xí)找到合適的計(jì)算方法。

參考文獻(xiàn)

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].7版.北京：高等教育出版社，2014.

[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].4版.北京：高等教育出版社，2010.

[3] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：人民郵電出版社，2017.

[4] 辛春元.二重極限計(jì)算方法的研究[J].長(zhǎng)春教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2011（7）：86.

[5] 熊允發(fā)，管濤.淺析求二元函數(shù)極限的幾種方法[J].中國(guó)人民公安大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2018（1）：98-100.①作者簡(jiǎn)介：張敏（1988—），女，漢族，河南鄭州人，研究生，助教，研究方向：數(shù)學(xué)教育，計(jì)算數(shù)學(xué)。