中考數學學科考試命題技術分析——“函數”的考法分析

一、內容特點分析

自身的結構特點

函數是表示數量之間關系以及變化規律的數學模型，其內容可歸為下列三個方面：

一是函數關系的表示，從表示方式的角度看，有關系式法、圖像法、列表法，從函數類別的角度看，主要有一次函數、二次函數、反比例函數；二是函數的性質；三是函數的應用及函數思想的形成。

以上三個方面又有著緊密的聯系，每個方面都是核心內容，都是考查的重點，但在實際問題或綜合問題中，一般首先是函數思想指導下確定或選擇運用函數，然后建立函數，最后根據函數性質解決相應的問題。

例８日照市是中國北方最大的對蝦養殖產區，被國家農業部列為對蝦養殖重點區域，貝類產品西施舌是日照特產．沿海某養殖場計劃今年養殖無公害標準化對蝦和西施舌，由于受養殖水面的制約，這兩個品種的苗種的總投放量只有５０噸．根據經驗測算，這兩個品種的種苗每投放一噸的先期投資、養殖期間投資以及產值如下表：（單位：千元／噸）

養殖場受資金的限制，先期投資不超過３６０千元，養殖期間投資不超過２９０千元．設西施舌種苗的投放量為ｘ噸．

（１） 求ｘ的取值范圍；

（２） 設這兩個品種的總產值為ｙ（千元），試寫出ｙ與ｘ之間的函數關系式，并求出當ｘ等于多少時，ｙ有最大值？最大值是多少？

考法評析本題聯系當地實際，較為集中地考查了函數模型的實際意義，同時也考查了學生利用函數思想解決實際問題的能力，本題有利于引導學生在平時用數學知識分析和解決生產、生活中的一些實際問題．

（四）考查函數在動態幾何問題中的應用

例９如圖，正方形ＡＢＣＤ的邊長為２ ｃｍ，在對稱中心Ｏ處有一釘子． 動點Ｐ，Ｑ同時從點Ａ出發，點Ｐ沿Ａ→Ｂ→Ｃ方向以每秒２ ｃｍ的速度運動，到點Ｃ停止；點Ｑ沿Ａ→Ｄ方向以每秒１ ｃｍ的速度運動，到點Ｄ停止． Ｐ，Ｑ兩點用一條可伸縮的細橡皮筋連接，設ｘ（ｓ）后橡皮筋掃過的面積為ｙ（ｃｍ２）．

（１） 當０ ≤ ｘ ≤ １時，求ｙ與ｘ之間的函數關系式．

（２） 當橡皮筋剛好觸及釘子時，求ｘ的值．

（３） 當１ ≤ ｘ ≤ ２時，求ｙ與ｘ之間的函數關系式，并寫出橡皮筋從觸及釘子到運動停止時∠ＰＯＱ的變化范圍．

（４） 當０ ≤ ｘ ≤ ２時，請在給出的直角坐標系中畫出ｙ與ｘ之間的函數圖像．

考法評析點的運動使圖形的形狀發生了改變，其面積也就與點的運動時間形成了函數的對應關系．本題通過特殊位置來區分函數的不同變化趨勢，綜合運用數學知識來解決問題，突出考查了函數思想在動態幾何中的運用，確保了本題具有較好的效度和可推廣性．

例１０如圖（１），正方形ＡＢＣＤ的頂點Ａ，Ｂ的坐標分別為（０，１０），（８，４），頂點Ｃ，Ｄ在第一象限，點Ｐ從點Ａ出發，沿正方形按逆時針方向勻速運動，同時，點Ｑ從點Ｅ（４，０）出發，沿ｘ軸正方向以相同速度運動． 當點Ｐ到達點Ｃ時，Ｐ，Ｑ兩點同時停止運動． 設運動的時間為ｔ（ｓ）．

（１） 求正方形ＡＢＣＤ的邊長．

（２） 當點Ｐ在ＡＢ邊上運動時，△ＯＰＱ的面積Ｓ（平方單位）與時間ｔ（ｓ）之間的函數圖像為拋物線的一部分（如圖（２）所示），求Ｐ，Ｑ兩點的運動速度．

（３） 求（２）中面積Ｓ（平方單位）與時間ｔ（ｓ）的函數關系式及面積Ｓ取最大值時點Ｐ的坐標．

（４） 若點Ｐ，Ｑ保持（２）中的速度不變，則點Ｐ沿著ＡＢ邊運動時，∠ＯＰＱ的大小隨著時間ｔ的增大而增大；沿著ＢＣ邊運動時，∠ＯＰＱ的大小隨著時間ｔ的增大而減小，當點Ｐ沿著這兩邊運動時，使∠ＯＰＱ ＝ ９０°的點Ｐ有＿＿＿＿＿＿個．

考法評析本題由運動時間的變化引出對三角形的探究，突出了利用函數思想進行科學探究之過程的考查．題目通過由圖像求速度，由圖形求頂點坐標，嘗試了從不同角度考查學生采集“數”與“形”的信息，尋求解決問題方法的能力．其問題（４）的設計融入合情推理，以及結合函數的增減性，動手觀察運動的特殊情形，依據角度變化的連續性（即由量變到質變的辯證性）等考查了學生對結論作出判斷的能力，使得本題在《課程標準》的要求范圍內具有較高的區分度．

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”