概率中數學期望的變式應用

喬碧江

[摘? ?要]通過高中數學課本例題的研究，分析、利用等可能事情的概率分布列解決了一類直線上關于動點到某定點的距離之和的最值問題.研究高中數學課本的例題解法及其變式，對開闊學生視野，提高學生能力有現實意義.

[關鍵詞]數學期望;高中數學;例題;變式

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）14-0026-03

人教版高中數學第三冊選修2第11頁有道例題：

隨機拋擲一個骰子，求所得點數[ξ]的數學期望.

∴當[c=x]時取得最小值.

而數學期望[Eξ]就是概率意義下的平均數，所以利用離散型隨機變量的分布列的數學期望可解決上述問題的最值問題.

若把“19”改為“[n]”，則可引申出更為一般的結論：當[n]為奇數時，會議室應設在[n+12]層;當[n]為偶數時，會議室設在[n2]或[n2+1]層中的任何一層均滿足題設要求.

解決這種離散型的問題利用數學期望提供了一種十分巧妙而且簡單的方法.如果我們將變式2的實際背景抽象出來，把樓房“擺平”，同時將離散型問題改為連續型問題，則可得變式3.

變式3：數軸上有[n]個定點[A1]，[A2]，…， [An]，其中對應的坐標分別為1，2，…， [n]，[p]為數軸上動點，坐標為[x]，求函數[f（x）=x-1+x-2+…+x-n]的最小值.

分析：設題的常用方法是利用數形結合法分類討論進行求解.但我們也可這樣思考：動點[p]在[x]軸上運動時，落在哪個位置是隨機的，盡管問題是個連續型隨機變量，但所求函數[f（x）]的最值仍可用上述方法求得.

通過課本上一道“小題”的研究，分析、利用等可能事件的概率分布列解決了一類直線上有關于動點到某些定點的距離之和的最值問題.解法可謂新穎別致，大大豐富了數學解題方法的研究.可見“小題”也可“大有作為”.

（責任編輯 黃桂堅）