填充空間的多面體

上海 常文武

用多面體填充空間是一個古老的話題．建筑用長方體磚塊（如圖1）是可以填充空間的最常見多面體．顯然比長方體更特殊的正方體也是可以填充空間的．

風(fēng)靡世界的樂高玩具（如圖2）其實就是一些長方體的組合拼搭．而另一種著名益智玩具——索瑪方塊的基本元素則是正方體的單元．

圖1

圖2

圖3

讓我們觀察廣場上的地磚，如圖4，常見的是一種正六邊形的式樣，就像蜂巢的截面．如果我們挖開一塊，可以發(fā)現(xiàn)它就是一個正六棱柱．如果將這些正六棱柱的地磚一層層堆疊上去，就可發(fā)現(xiàn)正六棱柱能夠填充空間．

圖4

以此類推，所有可以鑲嵌平面的多邊形一旦有一定厚度就可以填充三維的空間了．

以上都是很平凡的填充空間方案，不足為奇．

值得驕傲和自豪的是，中國人曾發(fā)現(xiàn)一種叫鱉臑的四面體是可以填充空間的．在《九章算術(shù)》一書中，古人用切割長方體的方法發(fā)現(xiàn)了它．這比西方人發(fā)現(xiàn)同一結(jié)構(gòu)的時間（1925年）要早幾百年．

鱉臑究竟長什么樣？下面請讀者跟我來制作幾個把玩一番．

取一張A4紙，如圖5，三等分后，裁掉其中三分之一，得到長寬比約為的長條紙．

圖5

照著以下圖6的步驟就可以完成一個鱉臑．

圖6

圖7

現(xiàn)在，請用三個鱉臑組合拼接成一個斜三棱柱（圖7）．一旦成功了，鱉臑?zāi)芴畛淇臻g的道理就不言自明了．

四面體是面數(shù)最少的多面體．下面利用“星化”正方體的方法產(chǎn)生一種能填充空間的新多面體——菱形十二面體．

將多面體的每個面尖銳化為一個棱錐而得到的多面體的過程就是“星化”．那么怎么將正方體星化呢？

想象一下單位正方體的中心（最長對角線的中點）關(guān)于正方體的6個面有6個鏡像對稱的像點．這些像點與原正方體的每個面構(gòu)成的四棱錐就是該面上的星化錐．這6個正四棱錐加上原來的正方體共同組成的多面體就是一個菱形十二面體，如圖8．

圖8

圖9

為何是一個十二面體而不是二十四面體呢？

注意到來自不同星化錐的相鄰側(cè)面恰巧平行于原正方體的某對角面．這樣，原正方體的12條棱就融化成菱形對角線，24個面也就成為了12個面．

我們可以從正方體填充空間的特性自然推導(dǎo)出菱形十二面體填充空間的特性．

設(shè)想用無數(shù)小正方體組成如圖9那樣帶空隙的三維空間．

圖9只是無限空間的一個局部．這個空間里每個方塊與周圍12個方塊以共棱方式鄰接，但從不共面．也就是說這樣形成的無窮大立體結(jié)構(gòu)像海綿一樣充滿了洞洞眼．

現(xiàn)在讓每個立方體在它的6個面上向周圍的6個洞洞生出6個四棱錐．這樣每個洞洞被它的上下左右前后伸出的四棱錐正好填滿．這也就證明整個空間可以被菱形十二面體填滿了．

如果允許填充空間的基本元素是兩個，值得關(guān)注的一個例子是正八面體和正四面體的組合．

用一個正八面體和兩個正四面體可以拼成一個平行六面體．而平行六面體可填充性是長方體可填充性的自然推論．

圖10

圖11

要證明圖10中的多面體的確是一個平行六面體，關(guān)鍵要證明正四面體和正八面體鄰接面融為一個面了．

分別算算兩種多面體的二面角，可以發(fā)現(xiàn)它們正好互補：如圖11，正四面體二面角的平面角等于菱形的一個銳角，而一個正八面體的二面角的平面角等于該菱形的一個鈍角．

北京2008年奧運會游泳館是二元組合填充空間的一個經(jīng)典范例．這個有“水立方”美稱的建筑用了兩種多面體氣囊來填充完成（如圖12）．兩種多面體以1∶3的數(shù)量來配比．居一份的是十二面體，居三份的是十四面體，都不是正多面體．根據(jù)計算，它們對于空間填充的效率是很高的：把單位體積空間分割為固定數(shù)量的空間用的表面積最少．

圖12

在認(rèn)識空間填充規(guī)律的進程中，自然界還有一種生物甚至超過了人類，這就是蜜蜂，蜜蜂創(chuàng)造的蜂巢的結(jié)構(gòu)是半開放的菱形十二面體，據(jù)測算這樣的結(jié)構(gòu)耗費的蜂蠟最省．

本文介紹了多面體填充空間的幾個例子．從面數(shù)較少的算起，有鱉臑四面體、正方體、4-8聯(lián)合體、菱形十二面體、12-14聯(lián)合體．當(dāng)然還有更多的可填充空間的多面體，這就有待讀者去發(fā)現(xiàn)研究了．