從子列的視角來判定等差（比）數列

江蘇省常州高級中學 陳小紅

結論1．設k為給定的不小于2的正整數，若數列｛an｝的前k項構成公差為d的等差數列，且子列｛akn-s｝（其中s=0，1，2，…，k-1）都是公差為kd的等差數列，則｛an｝是等差數列．

結論2．設k為給定的不小于2的正整數，若數列｛an｝的前k項構成公比為q的等比數列，且子列｛akn-s｝（其中s=0，1，2，…，k-1）都是公比為qk的等比數列，則｛an｝是等比數列．

結論1的證明：因為｛akn-s｝（其中s=0，1，2，…，k-1）是公差為kd的等差數列，

所以akn-s=ak-s+（n-1）kd；又因為a1，a2，…，ak構成公差為d的等差數列，

所以ak-s=a1+（k-s-1）d，于是akn-s=a1+（k-s-1）d+（n-1）kd=a1+（kns-1）d．

注意到每一個正整數都可以表示成kn-s（其中s=0，1，2，…，k-1）的形式，故對于任意的n∈N*，都有an=a1+（n-1）d．因此對任意的n∈N*，都有an+1-an=d，于是｛an｝是等差數列．

結論2的證明完全類似，此處不再贅述．

兩個結論本身并不重要，但其證明的過程卻給出了證明等差（比）數列的一個新的視角，即從子列的視角，先求出子列的通項公式進而得出原數列的通項公式，再利用通項公式證明數列為等差（比）數列．下面，舉兩例來說明如何使用這樣的方法解題．

例1設數列｛an｝的各項均為正數，若對于任意的n∈N*，存在k∈N*，使得a2n+k=anan+2k成立，則稱數列｛an｝為“Jk型”數列．若數列｛an｝既是“J3型”數列，又是“J4型”數列．

求證：數列｛an｝為等比數列．

分析 根據“J4型”數列的定義，數列a1，a5，a9，a13，a17，a21，…為等比數列，設其公比為Q．根據“J3型”數列的定義，數列a1，a4，a7，…，a3n-2，…為等比數列，設其公比為q1，數列a2，a5，a8，…，a3n-1，…為等比數列，設其公比為q2，數列a3，a6，a9，…，a3n，…為等比數列，設其公比為q3．通過列出各數列的盡可能多的項并觀察可以發現，前面三個等比數列中都有某些項總在公比為Q的等比數列a1，a5，a9，a13，a17，a21，…中出現，這樣就可以得出q1，q2，q3與Q的關系，從而可用Q表示q1，q2，q3，進而用a1與Q表示數列｛a3n-2｝，｛a3n-1｝，｛a3n｝的通項公式，再得出原數列的通項公式，最后可利用通項公式來證明等比數列．

證明 因為數列｛an｝是“J3型”數列，所以對任意的n∈N*恒成立，又數列｛an｝的各項均為正數，所以an，an+3，an+6成等比數列，則數列｛a3n-2｝，｛a3n-1｝，｛a3n｝都是等比數列，設它們的公比分別為q1，q2，q3．因為數列｛an｝是“J4型”數列，所以anan+8對任意的n∈N*恒成立，又數列｛an｝的各項均為正數，所以an，an+4，an+8成等比數列．因此，a1，a5，a9，a13，a17，a21，…為等比數列，設其公比為Q．

點評 解答中有兩個關鍵步驟．其一，利用a1與a13，a5與a17，a9與a21在不同的等比數列中的關系來證明3個公比相等；其二，表達出三個子列的通項公式，此處a3n-1用a5來表示，a3n用a9來表示，原因是a5，a9都可很方便地用a1與Q表示．

例2對于給定的正整數k，若數列｛an｝滿足an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan對任意正整數n（n＞k）總成立，則稱數列｛an｝是“P（k）數列”．

（1）略；

（2）若數列｛an｝既是“P（2）數列”，又是“P（3）數列”，證明：｛an｝是等差數列．

分析 根據“P（2）數列”與“P（3）數列”的定義，很容易得到an-2+an-1+an+1+an+2=4an（n≥3），an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an（n≥4），兩式作差得出an-3+an+3=2an對n≥4恒成立，則三個子數列｛a3n-2｝，｛a3n-1｝，｛a3n｝都是等差數列．若設這三個等差數列的公差分別為d1，d2，d3，再設法證明三個公差相等．若在等式an-2+an-1+an+1+an+2=4an（n≥3）中分別賦值n=3和n=6，這樣兩式相減就只有d1，d2，d3的等式，類似地再賦一些合適的值得出d1，d2，d3的其他等式，通過方程組思想證明d1=d2=d3．然后再通過賦值研究a1，a2，a3之間的關系，即可用a1與d1表示數列｛a3n-2｝，｛a3n-1｝，｛a3n｝的通項公式．再得出原數列的通項公式，最后可利用通項公式來證明等差數列．

證明 （2）因為數列｛an｝是“P（2）數列”，所以an-2+an-1+an+1+an+2=4an①對n≥3，且n∈N*恒成立．又因為數列｛an｝是“P（3）數列”，所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an②對n≥4，且n∈N*恒成立．

②—①得，an-3+an+3=2an對n≥4，且n∈N*恒成立，即an-3，an，an+3成等差數列，則數列｛a3n-2｝，｛a3n-1｝，｛a3n｝都是等差數列，設公差分別為d1，d2，d3．

由①得a1+a2+a4+a5=4a3③，a4+a5+a7+a8=4a6④，則由④-③得，2d1+2d2=4d3，即d1+d2=2d3；

由①得a2+a3+a5+a6=4a4⑤，a5+a6+a8+a9=4a7⑥，則由⑥-⑤得，2d2+2d3=4d1，即d2+d3=2d1；

由①得a3+a4+a6+a7=4a5⑦，a6+a7+a9+a10=4a8⑧，則由⑧-⑦得，2d3+2d1=4d2，即d3+d1=2d2．

因此，d1=d2=d3，故可令d1=d2=d3=d．

由③得到a1+a2+d=2a3，由⑤得到a2+a3=2a1+d，

點評 類似于例1，本題解答中也有兩個關鍵步驟．其一，利用賦值得到相關的方程組來證明3個公差相等，賦值時可使兩等式中對應項的下標相差3，兩等式作差后的等式中僅有字母d1，d2，d3；其二，是尋找a1，a2，a3的關系，也是通過賦值得到方程組并解方程組得到，在方程組中視a1與d為已知，視a2與a3為未知．

前面所舉的兩例難度比較大，給出的解法的共性是明顯的，即從它們的子列的通項入手進行深入分析，合理地研究某些項在不同的數列中的關系或者恰當地賦值得出方程組進而得出子列的公差（比）相等，得出子列的通項公式，最后給出原數列的通項公式，再判斷數列為等差（比）數列．當然，對于例2還有其他的解法，本文僅僅是提供了一種解決這類問題的視角以分享．