求解函數f（x）=A sin（ωx+φ）初相的六種方法

江蘇省姜堰第二中學 翟愛國

求初相是學習函數f（x）=A sin（ωx+φ）中的一個難點，也是確定函數解析式的重要步驟，許多同學由于掌握不住確定φ的有效方法致使解題出錯．如何求初相？本文介紹六種方法，供同學們參考．

一、五點法

“五點法”作圖時，要抓住五個關鍵點，使函數式中的ωx+φ取通過列表作出函數的圖象．由方程的思想可知，利用“五點法”來確定初相φ，即在五點中找到兩個特殊點列出方程組解出φ．

例1函數f（x）=A sin（ωx+φ）（其中的圖象如圖1所示，求φ的值．

圖1

由五點法求φ時，要分清所選擇的點是“五點法”的第幾個點，并能正確列式求解．

二、初始點法

這里把“五點法”中的第一零點叫初始點．如果函數圖象提供了初始點的坐標，又能根據周期求出ω，利用初始點坐標x0代入ωx0+φ=2kπ，k∈N即可求出φ．

例2如圖2，是函數y=A sin（ωx+圖象的一部分，求φ的值．

圖2

如果從圖象可確定振幅和周期，則可直接確定函數y=A sin（ωx+φ）中的參數A和ω，再尋找“五點法”中的第一個點（即圖象上升時與x軸的交點）為突破口．

三、圖象平移

先確定函數的基本函數y=A sinωx，根據圖象平移規律就可以確定相關的參數．

例3如圖3，是函數y=A sin（ωx+的一段圖象，求φ的值．

圖3

如果圖象給定的點是五個關鍵點中的非最值點，則可以通過平移法來確定，平移時要注意法則“左加右減”．

四、利用最值點

對于函數y=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），當時，y取最大值；當時，y取最小值．

例4如圖4，是函數y=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的一段圖象，由圖中條件，求出φ的值．

圖4

如果圖象給定的點是五個關鍵點的最值點，則可以代入最值點坐標來確定，若題目對φ有范圍限制，則可以選取適當的k來確定φ的值．

五、利用單調性

我們知道，已知三角函數值求角，在一個周期內一般有兩個解，我們可在一個限定的范圍內利用函數的單調性求出其唯一解．

例5函數y=2sin（2x+φ）（|φ|＜π）的圖象如圖5所示，求φ的值．

圖5

如果圖象給定的點不是五個關鍵點中的任何一個，則此時可以考慮利用三角函數的單調區間來確定；如果圖象上只有平衡點（與x軸的交點）時，這時要分清平衡點（與x軸的交點）是在遞增的一段圖象上還是在遞減的一段圖象上，即觀察圖象的走勢．總之，既要思考所過點，又要思考點所在的單調區間，整體處理解出初相角．

六、利用對稱性

函數y=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形時，可以根據它的對稱軸和對稱中心與φ的關系，求出φ的值．

例6設函數f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0）的圖象關于直線對稱，求φ的值．

解析 函數f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0）的圖象關于直線對稱，即直線是f（x）=sin（2x+φ）的一條對稱軸，那么我們可以知道當時，函數f（x）=sin（2x+φ）取得最大值或最小值，把代入有所以又因為-π＜φ＜0，故．

同學們，上面介紹破解初相的六種方法，其實這些方法不是彼此孤立的，而是互相有關聯的．如果能把每一道題多角度思考，舉一反三，一定能融會貫通，受益匪淺．