空間飛行器的姿態和擾動抑制控制器設計*

沈 培 ，賈付金 ，羅家維 ，3，李伯勛 ，蘇 嘯

（1.萍鄉學院機械電子工程學院，江西 萍鄉 337000；2.南昌航空大學信息工程學院，南昌 330063；3.江西工業工程職業技術學院，江西 萍鄉 337055）

0 引言

最近幾十年以來，因為姿態控制系統是空間飛行器總體設計的重要組成部分之一，所以姿態系統已經并將繼續成為廣大學者的熱門研究對象。鑒于飛行器系統中轉動慣量因為燃料消耗等因素存在的不確定性和受到外部未知的干擾。所以，尋求一種不依賴矩陣慣量和干擾信號，并且還要使得系統狀態全局穩定的控制器成為國內外廣大學者研究的熱點之一。

目前，在不確定參數和外部干擾的影響下，飛機的姿態控制問題還沒有被考慮進去，已經進行了廣泛的研究［1-7］。LUO等人［8］提出了一種逆最優自適應控制方法來解決參數的不確定性和外部干擾對飛機的影響。其解決了已知的飛機姿態跟蹤與有限能量干擾問題。為了克服干擾信號能量有界的假設，CHEN等人［9］四元數用于描述飛行器的姿態，通過自適應控制理論和輸出調節理論的內部模型方法，將干擾信號恒定和有限數量正弦信號的形式結合假設條件，進一步研究航天器姿態跟蹤和干擾抑制問題；但是根據文獻［10］可知:單位四元數描述的飛行器姿態會使得方程有兩個平衡點，而且其中有一個是不穩定的。為了克服利用四元數描述姿態帶來這樣的缺陷，劉獻平［11］采用了 Rodrigues參數［12］來描述飛行器姿態，并利用Backstepping控制方法、自適應理論和Lyapunov函數分析來設計控制器，使得系統全局穩定。然而劉獻平［11］與 CHEN［9］將已知常數和未知頻率的有界正弦函數視為外部干擾，這些形式的干擾基本上是由線性系統產生，與線性系統相比，非線性系統所產生的信號范圍更廣，其相較于線性系統接近于實際。SHUSTER［12］基于單位四元數法，在干擾系統是非線性的情況下，結合三乘二矩陣法的處理積，設計了依賴于外部信號控制器而不是依賴于外部信號的慣性矩陣控制器，但是外部信號和慣性矩陣是不確定的，此方法與實際理論相悖。因此，在此情況下，怎樣解決更加接近于實際情況的外部干擾，以及怎樣設計一個不依賴外部信號或者不依賴于矩陣慣性的控制器，其是一個富有挑戰性的問題［13］。

本文對空間飛行器的飛行姿態這一關鍵參數采用了一個矩陣未知的Rodrigues參數加以描述。利用輸出調節理論［14-19］，通過求解調節器方程，設計了外部非線性系統的非線性內部模型漸近估計。并且對控制器的狀態進行了轉換和控制器中使用的公式加以處理，給出了較合理Lyapunov函數，并設計了使飛機全局穩定的控制器。經過理論計算與仿真結果表明，此控制器設計是可行的。

1 空間飛行器姿態方程

描述姿態的參數有多種形式，本文采用Rodrigues參數［12］來描述飛行器的姿態，其定義如下:

其中，e為歐拉轉軸，φ為歐拉轉角。

基于Rodrigues參數的飛行器姿態運動學方程為

空間飛行器的姿態動力方程［21］可以有下面的方程表示

針對所研究對象式（1）和式（2），在未知非線性系統式（3）的干擾與慣性矩陣不確定性擾動情況下，使用所設計的內部模型去預估不確定的外部模型系統，運用恰當的Lyapunov函數理論解算出未知的確定性與外在旋轉矩陣干擾不相關的狀態反饋控制器。所設計模型讓任意初態與閉環系統的當前狀態都是有界和滿足的:

2 非線性內模設計

在內模設計之前，先看看下列方程

式（4）被稱為調節器方程，（ρ（v），w（v），u（v））構成了相對于式（1）、式（2）和外部非線性系統式（3）調節器方程的解。

調節器對應的式（4）有未知解，其解是式（1）、式（2），并且外部系統式（3）全局穩定的輸出調節問題有解的必要條件，此必要條件可由文獻［14］得到。設 q（v）=0，可以得出 w（v）=0，u（v）=-R（v），ρ（v）能夠產生多個解，令ρ（v）=0，即可解釋此調節器的方程有解，得出式（1）、式（2）全局穩定性輸出調節所產生的問題可以得出方程解。

設計系統預估的非線性內模，假設如下

假設 1［22］對于式（1）、式（2）和外部系統式（3），存在一個適當的侵入系統:

其中，θi表示狀態變量，Fi、Gi、Ψi、Hi作為前提矩陣，用于描述系統有恰當的維數，并且矩陣對（Fi，H）i來說其是一組能夠觀測的矩陣對，從而函數可以得出如下的式子

定義的非線性函數，并滿足:

因此，其確定有一個合適的矩陣K可以讓F-KH是一個Hurwitz矩陣，并且存在兩個適當的正定矩陣P、Q，滿足下面的方程:

則可以設計一個用來處理外界干擾力矩的非線性內模式（9），

注1:在文獻［22］中假設條件1首次被提出，且基于假設2，CHEN等人［23］解決了一類最小相位非線性系統的干擾問題。

3 狀態變換

在控制器設計前，對內模作如下狀態變換

可得

由式（10）可得

其中，

引理1［13］由改變能量函數技術可知，一定存在適當的實常數和光滑的正定函數

其中，光滑函數 C（ρ）＞0。

4 控制器設計

運用如下Lyapunov函數魯棒性理論解決方法，利用此方法去解算控制器中閉環系統魯棒性問題，能夠得出如下所示的定理。

定理 1:以式（1）、式（2）與式（9）為研究對象，并且設式（1）滿足其條件的前提下，轉動慣量矩陣J其有不穩定的參數變量并且存在式（3）所得出的非線性干擾力矩的情況下，能夠得出如下所示的控制器式子:

因此，實現了所描述的解決方法，證明如下。

證明 考慮下面Lyapunov函數

把式（15）中第 1個式子代入式（18），且進行Young不等式變換:對于任意的 ＞0，使得不等式

成立，從而得到

其中，σmi（nQ）是矩陣Q的最小特征值，為滿足一定條件下的預計算的正常數的參數值。

對式（10）進行整理可得:

選取關于狀態ρ的函數B（ρ），使得

由于J0正定，可知

實現了所需要求解問題的要求。證畢。

5 數值仿真

進行了系統的仿真實驗，并驗證了所提出的控制規律。

則讓轉動慣量與標稱部分的矩陣如下所示，

其中，v1，v2是由下面外部非線性干擾系統產生:

可知空間飛行器的姿態動力方程為

由式（1）、式（31）和式（32）可知，設 q（v）=0，則調解方程的解為

由內模設計部分知，取

可知以上3個都是Hurwitz的矩陣，說明滿足理論要求和假設條件。

則非線性內模為

運用Matlab工具，其運行結果如下頁圖1～圖4所示。圖1曲線顯示了空間飛行器的角速度的變化；圖2曲線顯示了空間飛行器的姿態所產生變化；圖3曲線顯示了所示設計的內部模型估計的外部系統的變化；圖4為其控制扭矩曲線。

從仿真軟件得出曲線結論可知，本文設計的控制律不僅能使剛體空間飛行器的姿態和角速度漸近穩定，而且具有良好的抗干擾能力。

6 結論

針對含有參數不確定和外部干擾信號的空間飛行器，采用Rodriguese參數描述的飛行器數學模型，設計了一個基于非線性內模的反饋控制器。并且證明了閉環系統的全局漸近穩定。仿真表明，本文提出的控制器具有針對空間飛行器的轉動慣量參數不確定的良好魯棒性與比較強的抗非線性外部系統產生的干擾能力，從而證明了控制器的有效性和可行性。