高等數學中換元法的教學探討

伍超林

摘? 要：換元法是極限運算中一個非常重要的內容，對于理解兩個重要極限及等價無窮小，并運用其來求極限有著不可或缺的作用。然而高等數學的教材中對此卻語焉不詳。該文彌補看教材的缺陷，介紹了換元法的理論依據為復合函數極限運算法則，并結合等價無窮小，探討了換元法在一元函數極限中的應用，幫助學生更好地理解極限;進一步推導出一元復合的多元函數的極限運算法則，把換元法推廣到二元極限的運算。

關鍵詞：換元法? 復合函數? 極限? 等價無窮小

中圖分類號：O13? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1672-3791（2019）02（c）-0132-03

Abstract：The abstract should briefly state the problem or purpose of the research，indicate the theoretical or experimental plan used， summarize the principal findings or the significant results， and point out major conclusions. All letters must be accompanied by an abstract containing about 200 words and at least 6 single sentences. Acronyms should be provided their full names.

Key Words：Method of substitution;Composite function;Limit;Equivalent infinitesimal

高等數學是理工類學生必修的一門公共基礎課，其難度較大。極限是高等數學中的一個重要的內容。兩個重要極限及等價無窮小在極限運算中起著非常重要的作用。然而，學生在學習兩個重要極限及等價無窮小的時候，并沒有能夠很好地理解其內容。他們總是以為自變量一定要趨于零才行，要給出清楚的解釋，需要換元法，但是，在高等數學的教材中，對換元法的應用卻語焉不詳，只是舉出了一兩個例子。針對此情況，相當多的論文對于換元法在一元二元函數極限中的作用，做了不少的探討[1-4]，然而這些論文中，并沒指出換元法的依據，而且對換元法的講述不成體系。該文指出復合函數運算法則為函數換元法的理論依據，并把高等數學中一元復合函數運算法則推廣到二元函數中，這樣就把換元法置于復合函數運算法則的框架之下。

1? 一元函數極限換元法的理論依據及其應用

換元法的理論依據為一元函數復合函數極限運算法則，其內容如下。

定理1[5]：設函數是由函數及復合而成，在點的某去心鄰域內有定義，若，且存在，當時，有，則。

該定理可由推廣到，結論也成立。該定理表明，如果函數滿足該定理的條件，則做代換可把求轉化為求，其中。該算法即為換元法。然而在課本的后續學習中，并沒有給出足夠的例子說明該法則的使用。事實上，換元法在理解兩個重要極限和等價無窮小中有著非常重要的作用，若能結合等價無窮小，換元法在計算中也起著非常重要的作用。

1.1 換元法幫助理解兩個重要極限

兩個重要極限在極限運算中扮演著非常重要的角色，后面的等價無窮小也跟其有著密切的聯系。理解好兩個重要極限，對于極限運算有著非常重要的作用。然而要理解好兩個重要極限并不容易。

第一個重要極限為：。很多同學以為一定要，他們不能理解，也不能理解，因為在他們看來，這兩個極限的并未趨于0。這時候，用換元法去解釋是最好的，例如：

1.2 換元法在等價無窮小中的應用

明，由二元函數推廣到元函數，結論仍然成立。該定理表明，如果函數滿足該定理的條件，則做代換可把求轉化為求，其中。該算法即為換元法。二元函數換元法能把一元函數兩個重要極限和等價無窮小的相關結果很容易推廣到二元函數極限中，從而對求二元函數極限帶來極大的幫助。

2.1 換元法推廣兩個重要極限

兩個重要極限在極限運算中扮演著非常重要的角色，后面的等價無窮小也跟其有著密切的聯系。理解好兩個重要極限，對于極限運算有著非常重要的作用。接下來利用定理3推廣此兩個極限。

可把第一個重要極限推廣為：

該文彌補了教材的缺陷，系統介紹了換元法的理論依據及其在極限運算中的應用，并推廣了相關的結果。

參考文獻

[1] 丁艷鳳，張玉玲.換元法在求極限中的應用舉例[J].科技創新導報，2015（34）：249-250.

[2] 李德樂.淺談兩個重要極限的換元法[J].現代職業教育，2016（12）：135-136.

[3] 馮英杰，李麗霞.二元函數極限的求法[J].高等數學研究，2003，6（1）：33-44.

[4] 葉建兵.二元函數與一元函數的幾個轉化問題[J].長春大學學報，2016，26（2）：23-25.

[5] 同濟大學數學系.高等數學[M].第7版.北京：北京高等教育出版社，2016：43-44，54-55.