一種圓柱殼類聲子晶體振動帶隙及振動特性研究

羅金雨，姚凌云，江國期，吳 飛

(西南大學 工程技術學院，重慶 400715)

當前，聲子晶體廣泛用于振動波的控制，這一領域的形成起源于面向電子波控制的光子晶體概念[1]。聲子晶體是兩種或兩種以上彈性介質組成的具有彈性波帶隙的周期復合性材料[2]。當彈性波在聲子晶體中傳播時，由于散射體的周期性分布，將會禁止某些頻率的波傳播從而形成帶隙。在過去的二十年間，由于聲子晶體這一特有物理性質，彈性波在聲子晶體中的傳播得到了廣泛的關注和研究[3-7]。研究表明聲子晶體的帶隙形成機理可分為布拉格散射(Bragg Scattering)機理和局域共振(Locally Resonant)機理[8]。布拉格帶隙的調控依賴于復合介質的材料參數(密度和彈性常數等)和結構參數(晶胞形狀、排列方式和填充比)[9]。局域共振帶隙與空間排列基本無關，而帶隙寬度與材料參數密切相關[10-11]。布拉格聲子晶體獲得的帶隙頻率比較高，但是帶隙內的衰減比較大。局域共振聲子晶體獲得的帶隙頻率比較低，但是由于類Fano現象[12]影響，因此，帶隙內的衰減較小。

聲子晶體的帶隙特性，對于減振降噪技術具有廣泛的應用前景。目前對于聲子晶體在減振降噪方面的應用，已經做了大量的研究與發展[13-17]。在工程中，最常見的基本結構單元為梁、板和殼結構，因此研究人員對于聲子晶體的在工程中的應用也集中與對這三類結構的研究。在梁的振動控制研究中，溫激鴻等[18]通過將聲子晶體中的周期結構思想引入到梁中，設計構造了一種具有振動帶隙的細直梁。Wang等[19]研究了一種局域共振彎曲梁的頻散曲線。在板的振動控制研究中，郁殿龍等[20]研究了二維聲子晶體薄板的振動帶隙,將聲子晶體應用到了板結構中。Song等[21]分析和加強了板的彎曲波帶隙。

相比于梁和板結構，圓柱殼在工程應用中具有不同之處，具有更廣泛的應用。圓柱殼是各種飛機，輪船，火箭和精密儀器的基本結構單元，被廣泛應用與化工，航空航天，國防等領域。因此研究圓柱殼的減振特性意義重大，且具有巨大的應用前景。目前研究人員通過分析或數值計算等方法已經研究了波在圓柱結構中的傳播[22-23]。由于波在彎曲板和圓柱中傳播的復雜性，許多對于彎曲板和圓柱中波的傳播研究都使用了簡化假設和近似理論。Pany等[24]通過有限元法(Finite Element Method,FEM)研究了軸向波在周期彎曲板中的傳播。Manconi等[25]通過有限元法研究了波在圓柱和彎曲板中的傳播特性。Nateghi等[26]提出了一種局域共振型圓柱殼，利用有限元法對該模型進行了研究，獲得了不同方向的彎曲波頻散曲線并討論了圓柱殼半徑對帶隙的影響。謝宇晗等[27]通過將吸振器分布在圓柱殼上，使圓柱殼具有了減振降噪效果。

現如今，基于布拉格散射機理的聲子晶體類圓柱殼還沒有被研究和應用。基于此，作者提出了一種布拉格聲子晶體類圓柱殼模型，利用圓柱殼結構動力學理論和Bloch周期條件，建立其結構有限元模型，并計算其能帶結構。通過能帶結構分析，給出了圓柱殼類聲子晶體的能帶和帶隙的特點。通過對比同種材料參數和同種結構參數的板和殼的能帶圖，發現環頻率會影響殼的第二能帶曲線。為進一步的驗證環頻率對殼的第二能帶曲線的影響，本文還給出了單一材料圓柱殼的能帶圖，得到的環頻率與公式計算的環頻率基本一致。最后，對提出的模型的振動傳遞進行了研究，證實了圓柱殼類聲子晶體帶隙的正確性。同時將帶隙外與帶隙內的位移場分布進行了對比，可以更加直觀的看出該模型的減振效果。基于布拉格散射機理的圓柱殼類聲子晶體的振動帶隙研究為圓柱類結構隔振降噪方面的應用研究提供了一種新的思路和途徑，具有良好的應用前景。

1 周期性結構的圓柱殼模型

1.1 簡單模型

為了更好的描述如圖1所示的周期結構圓柱殼，本節將笛卡爾坐標轉換為圓柱坐標，如圖2(a)所示。此時二維波傳播的波矢在圓柱坐標中的表示如圖2(b)所示。

圖1 周期結構圓柱殼及相應的晶胞(邊長為0.02 m，圓半徑為0.008 m)Fig.1 The periodic shell and corresponding crystal cell (The side length is 0.02 m and the radius of the circle is 0.008 m)

圖2 坐標變換及二維波矢的表示Fig.2 Coordinate conversion &representation of wavenumber vector

此時波矢k可以表示為

(1)

在對殼體進行分析時，更習慣使用環向坐標s，軸坐標y和指向圓心的坐標z，如圖2(a)所示，即有

Rθ→s,z→y,r→z

(2)

相應的位移為

Uθ→U,Uz→V,Ur→W

(3)

1.2 周期結構圓柱殼結構波傳播理論

彈性波在均勻，連續，線性的介質中傳播時，傳播方程為

(4)

式中：ui=(r,t)為彈性位移場的一個分量；ρ為密度，r=(s,y,z)；σ為應力張量，可以表示成

σij=λtr(ε)δij+2μεij,ij=s,y,z

(5)

式中：tr(ε)為相應應變張量；δij為克羅內克符號；λ和μ為Lamé常數，可用彈性模量E和泊松比ν表示，如式(6)所示

(6)

εij為應變張量具體可用位移場表示為

(7)

根據Bloch-Floquet定理[28]有

u(r,f)=U(r,k,f)ek·r

(8)

2 能帶數值分析

目前有很多方法來計算周期結構的能帶，本文采取了有限元法(FEM)即利用有限元軟件COMSOL Multiphysics來計算周期圓柱殼結構的能帶圖。有限元法適合于包含有多種材料的聲子晶體能帶計算和振動分析。

本文利用COMSOL軟件建立有限元模型，然后選擇固體力學物理場的中的特征頻率模塊進行計算獲得能帶圖。在COMSOL建立如圖1所示的晶胞模型，如圖3所示。

圖3 晶胞模型(邊長為0.02 m，圓半徑為0.008 m)Fig.3 The crystal cell model (The side length is 0.02 m and the radius of the circle is 0.008 m)

對于圓柱殼晶胞模型，COMSOL軟件中采用笛卡爾坐標，而圓周方向波矢ks為環向波矢，因此在COMSOL軟件中設置圓柱殼周期性條件時，需將ks分解到x和y方向。故本計算中設置Floquet周期k矢量在x，y，z分別為kscos(a/R)π/a，kssin(a/R)π/a，kyπ/a，而對周期結構板的x，y，z分別設置為kxπ/a，0，kzπ/a。其中，a和R分別為晶胞邊長和圓柱殼半徑。為了保證結果滿足有限元法的收斂性要求，本研究在COMSOL軟件中將模型劃分為7 330個四面體單元組成的網格，其自由度數為35 868。

利用COMSOL軟件實際上是解決以下離散系統的二次特征問題

k2A(φ)+kB(φ)+(C-ω2D)=0

(9)

式中：A(φ),B(φ),C和D是基于式(1)、式(4)和式(8)得到的矩陣；A(φ),B(φ)分別為稱矩陣和非對稱矩陣；C和D分別為結構剛度矩陣和質量矩陣。

圖4 第一布里淵區Fig.4 The irreducible region of the Brillouin zone

利用有限元法即通過COMSOL商業軟件計算了半徑為0.1 m厚度為0.002 m的周期結構圓柱殼的縱向模態能帶圖。周期結構圓柱殼如圖1所示，基體采用了環氧樹脂，散射采用了鉛。材料屬性參見表1。獲得的能帶圖如圖5所示。

表1 材料參數Tab.1 Material parameter

圖5 半徑為0.1 m的周期結構圓柱殼的能帶圖Fig.5 The dispersion curve of periodic structure cylindrical shell with a radius of 0.1 m

利用有限元模型進行能帶計算，得到如圖5所示的能帶結構圖。圖5中帶隙1～帶隙4表示在該頻率內沒有振動傳播，即振動帶隙。如圖5所示在0～80 kHz中存在3個完全帶隙分別為帶隙1、帶隙3和帶隙4和一個方向帶隙即帶隙2。第一個完全帶隙在29～53 kHz，第二個完全帶隙在60～62 kHz，第三個完全帶隙在68～73 kHz，表明在這3個頻率之間振動被完全禁止傳播。方向帶隙在54～56 kHz，表明在這個頻率之間ΓX方向的振動被禁止傳播。

為了評價圓柱殼與板的能帶結構的差異，本文還計算了同種材料參數和同種結構參數的周期結構板的能帶圖。周期結構板如圖6所示。板能帶圖如圖7所示。

圖6 周期結構板Fig.6 The periodic plate

圖7 周期結構板能帶圖Fig.7 The dispersion curve of periodic structural plates

通過對比板和殼的能帶圖可以發現，板和殼的縱向模態能帶圖帶隙并沒有多大的區別。但是可以觀察到板和殼的第二能帶有著區別。板的第二能帶從0開始，而殼的第二能帶從2 095 Hz開始。這個頻率可以由圓柱殼的環頻率fr的計算公式計算

(10)

由式(10)可知，環頻率的大小與所選材料和圓柱殼的半徑大小有關，當所計算模型為平板時，可看作半徑R為無窮大，此時環頻率為0如圖7周期結構板的能帶圖所示。為了進一步的證實環頻率對殼的第二能帶的影響，文章還給出了環氧樹脂為材料的半徑為0.1 m的圓柱殼的能帶曲線，如圖8所示。從圖中可以看出第二能帶從3 253 Hz開始。由式(10)可知此時fr為3 286.4 Hz，與圖中頻率相符合。

圖8 半徑為0.1 m的圓柱殼能帶圖Fig.8 The dispersion curve of cylindrical shell with a radius of 0.1 m

3 振動傳遞研究

如圖5所示的能帶圖盡管很好的說明了帶隙的頻率位置及寬度，但是不能充分的說明周期性圓柱殼的減振特性。為了進一步的說明周期結構圓柱殼的減振特性及驗證帶隙的正確性，對多個周期(根據隔振要求，一般保證5～10個周期)結構的圓柱殼結構進行了振動傳遞分析。如圖9所示給出了5個周期的振動傳遞仿真模型，鉛柱均勻的插入厚度為2 mm的環氧樹脂圓柱殼中，其晶胞大小與圖1所示一致，材料參數參見表1。如圖5所示周期結構圓柱殼的帶隙頻率范圍集中20～75 kHz，因此采用有限元COMSOL Multiphysics軟件劃分了44 042個四面體單元形成了266 364個自由度來分析其20～75 kHz的振動傳遞特性，步長為1 kHz。本文只研究了ΓX方向的振動傳遞，在T線上施加了沿著如圖9淺色箭頭所示方向的諧波位移qinc=Qinceiωt，通過COMSOL Multiphysics軟件分析計算得到了在右端Homogeneous part部分上的位移響應qres=Qreseiωt。傳遞系數就可定義為T=20 lg|Qres/Qinc。在Homogeneous part兩端施加的完美匹配層(Perfectly Matched Layer,PML)是為了防止邊界的散射波，同時模型的兩側運用了周期性邊界條件。

圖9 振動傳遞模型Fig.9 The vibration transfer model

根據計算結果獲得該周期結構的振動傳遞函數如圖10所示，從圖中可以發現，曲線包含4個較大的衰減區域，第一個衰減區域的頻率為30～51 kHz,第二個衰減區域的頻率在54～56 kHz，第三個衰減區域的頻率在60～62.5 kHz，第四個衰減區域頻率在67～72 kHz。這與圖5所示的帶隙基本匹配，但是也存在誤差。誤差產生的原因是無論是采用有限元法計算帶隙還是對振動傳遞進行仿真，這些都是近似算法，其精度決定于有限元網格的數量和質量，考慮到計算時間等問題只能選擇適當的精度來計算。

圖10 振動傳遞Fig.10 The vibration transfer

為了進一步直觀的了解圓柱殼類聲子晶體的減振特性，圖11和圖12給出了在帶隙外頻率點的位移場的分布情況，圖13和圖14給出了在帶隙內的頻率點的位移場分布情況。由圖11和圖12可以明顯看出當頻率為22 kHz，58 kHz處于帶隙之外時，此時振動傳遞通過了周期結構圓柱殼，此時的周期結構圓柱殼沒有任何的減振效果。經過對比可以發現，圖13和圖14可以明顯看出當頻率為43 kHz，71 kHz處于帶隙內時，此時振動波只向右傳遞了一個周期，此時振動波的大部分能量都被周期結構反射回去了，因而右邊基本沒有振幅，振動傳遞不過去具有良好的減振效果。

圖11 22 kHz的位移場分布Fig.11 The displacement field distribution of 22 kHz

圖12 58 kHz的位移場分布Fig.12 The displacement field distribution of 58 kHz

圖13 43 kHz的位移場分布Fig.13 The displacement field distribution of 43 kHz

圖14 71 kHz的位移場分布Fig.14 The displacement field distribution of 71 kHz

4 結 論

本文研究了圓柱殼類聲子晶體的振動特性，得到了圓柱殼類聲子晶體的能帶結構圖。對能帶圖進行研究發現了圓柱殼類聲子晶體具有縱向振動帶隙。通過將同種材料參數和同種結構參數的殼和板的能帶圖進行對比，雖發現殼和板的帶隙相似，但圓柱殼與板類結構在工程應用中具有不同之處，且圓柱殼結構應用更加廣泛，同時發現了殼和板的第二能帶具有不同之處，故研究圓柱殼類聲子晶體具有重大意義。分析了周期結構圓柱殼的振動傳遞，發現了在帶隙頻率內振動傳遞具有很大的衰減，具有較好的減振特性。通過帶隙外和帶隙內兩個不同的頻率所對應的位移場分布，可以更加直觀的描述圓柱殼類聲子晶體對振動傳遞的影響。研究表明，圓柱殼類聲子晶體具有良好減振效果，這就為圓柱類結構的隔振降噪技術提供了實質性的幫助，同時圓柱殼類結構在工程應用廣泛，因此具有振動帶隙的周期結構圓柱殼應用前景廣闊。