超深礦井提升系統兩繩區圈間過渡不同步時鋼絲繩張力差分析

張 驍，龔憲生，寧顯國，萬 園

(1.重慶大學 機械傳動國家重點實驗室,重慶 400044；2.重慶大學 機械工程學院,重慶 400044)

近年來，隨著我國國民經濟的快速發展，我國對礦產資源的需求量大幅增加，促使我國對地下礦產資源的開采不斷向深層擴張，未來10年我國的采礦深度將達到1 000～2 000 m。由于單繩纏繞式提升機和摩擦式提升機，會隨著采礦深度的增加，鋼絲繩直徑和尾繩重量都會急劇增加，因此不能滿足超深井提升的需求[1]。因此，多點并行驅動的多層纏繞式提升機有望成為深部礦產資源開發的有效提升裝備，其具體結構形式如圖1所示。

與傳統的提升機不同，每一個卷筒上有兩個纏繩區，兩根鋼絲繩繞過天輪分別與容器相連，并將其重量均勻分配到兩根鋼絲繩上，從而實現高速的同步提升。超深礦井提升裝備的重負載、高速度、大慣量和鋼絲繩在高速纏繞過程產生的周期擾動、纏繞誤差等會引起多點驅動柔性系統的變形失諧。變形失諧會導致兩根鋼絲繩長度出現差異和纏繞不同步，造成鋼絲繩的張力異常，引起兩鋼絲繩之間的張力差過大，導致鋼絲繩的壽命急劇縮短，甚至引發鋼絲繩張力超標、斷繩等重大安全事故。因此對提升系統鋼絲繩在多繩多層纏繞下特別是對超深井提升，其振動特性將更加復雜，建立更加符合實際提升系統鋼絲繩的動力學模型和研究其動力學特性十分重要。

圖1 雙繩多層纏繞式提升系統Fig.1 Diagram of the ultra-deep mine hoisting system

目前，國內外學者對電梯和摩擦式提升系統鋼絲繩振動特性進行了一定的研究。王春華[2]利用集中質量法建立了塔式多繩摩擦提升系統的橫向振動模型，發現繩長變化比重錘質量變化對提升鋼絲繩固有頻率影響更大；張長友[3]建立了電梯鋼絲繩的縱向振動方程，通過數值計算推導出了鋼絲繩的固有頻率計算公式，并對電梯垂直振動的固有頻率進行了分析，解釋了電梯鋼絲繩在提升過程中某行程階段振動加劇的原因；Zhang等[4]以簡化的軸向提升鋼絲繩模型為基礎，建立了集中參數的動力學運動方程，分析了提升鋼絲繩做衰減振動、發散振動以及等幅橫向振動的原因，并結合數值分析與試驗對理論推導公式就行了驗證；朱真才等[5-6]利用Hamilton原理建立了纏繞式提升機的運動微分方程，并提出該方法也適用于研究深井提升下礦車進罐時的振動特性；張鵬等[7-8]人以高速電梯提升鋼絲繩為研究對象，運用Hamilton原理和Galerkin方法對進行動力學方程建模和求解，進一步對振型函數就行了修改，得到了更加精確的數值解；Kaczmarczyk等[9-10]利用Hamilton原理推導出了纏繞式提升機鋼絲繩的縱向振動微分方程，并運用多尺度法分析了在周期的外部激勵下提升系統的振幅和共振區域等；Kaczmarczyk等[11]研究了高速電梯提升系統的非線性和非穩態振動特性，并發現提升系統的參數變化會導致提升系統內部出現自參數共振現象。

單繩提升系統的振動特性研究比較多，但對于雙繩以及多繩纏繞式提升的研究比較少，本文通過將容器看為平面運動的剛體，兩鋼絲繩通過容器連接進行耦合，建立了雙繩多層纏繞提升模型，并分析兩鋼絲繩在圈間過渡不同步時，鋼絲繩張力差及動張力的變化規律，為控制同一卷筒兩纏繩區的兩根鋼絲繩纏繞不同步提供理論依據。

1 雙繩提升系統動力學模型

1.1 無邊界激勵時提升系統的動力學方程

本文將雙繩多層纏繞提升系統分為懸繩和垂繩部分，如圖2所示。其中，將懸繩與卷筒的接觸點作為坐標原點O1,O2，設兩鋼絲繩上任意一點p1,p2的長度為x1(t)，x2(t)天輪到原點的距離為Ls，兩鋼絲繩與提升容器的連結點到原點的距離分別為lv1(t),lv2(t)。對于懸繩段上的任意一點具有縱向、橫向和側向的位移，分別為uci(xi,t),wi(xi,t)和vi(xi,t)，其中i=1,2。對于垂繩段，由于天輪和罐道的限制作用，僅考慮其縱向位移ui(xi,t),其中i=1,2。

此外，對圖2模型做出以下假設：①提升鋼絲繩的材料均勻并假設為黏彈性體；②鋼絲繩在卷筒和天輪上的纏繞沒有相對滑動；③卷筒、天輪和提升容器均為剛體；④忽略鋼絲繩的扭轉特性和提升容器運行過程的空氣阻尼；⑤忽略靜平衡狀態時，懸繩由于重力作用形成的垂度。

圖2 雙繩多層纏繞提升系統簡化模型Fig.2 Model of the two cable mine hoisting system

此提升系統為非保守系統，可以采用分析力學中的變分方法，并結合廣義的Hamilton原理對提升系統的動力學模型進行推導，即系統的動能和勢能之差以及阻尼虛功在時間邊界條件范圍內的積分的變分為零。

(1)

式中：T為提升系統的動能；Ee為系統的彈性勢能；Ep為系統的重力勢能；W為系統阻尼所做的功。

假設兩鋼絲繩上任意一點p1,p2的位置矢量分別為

(2)

(3)

對位置矢量進行全微分可以得到相應的速度矢量

(4)

(5)

(6)

對于提升容器而言，假設其為平面運動的剛體，僅有繞X軸的旋轉和沿Z軸的平移，則可以如圖3所示，使用廣義坐標(U,θ)來描述容器在提升過程中的運動規律，其中廣義坐標可由如式(7)表示。

(7)

圖3 提升容器旋轉示意圖Fig.3 Diagram of rotation of mine cage

容器在運動過程中由于兩側柔性罐道的限制作用，轉動角度相對于容器尺寸而言較小，則cosθ≈1,sinθ≈θ，因此簡化上式后可以推出U和θ的表達式為

(8)

提升系統的動能

(9)

提升系統的彈性勢能

(10)

式中：E0為提升鋼絲繩的初始彈性能；Tci,Tvi分別為懸繩和垂繩的準靜態張力

(11)

εci,εvi分別為懸繩和垂繩段鋼絲繩的正應變

(12)

提升系統的重力勢能

(13)

式中：Ep0為提升系統的初始重力勢能；第二項為兩鋼絲繩重力勢能的改變量；第三項為容器重力勢能的改變量。

鋼絲繩在提升過程中的阻尼耗散能

(14)

式中:fcu,fcv,fcw為懸繩段鋼絲繩沿鋼絲繩軸向、沿卷筒徑向和沿卷筒軸向的等效阻尼；fu為垂繩段鋼絲繩的縱向等效阻尼。本文使用等效的黏性阻尼模型，其中各個阻尼的具體表達式為

(15)

將以上系統的動能、彈性勢能、重力勢能以及阻尼虛功代入式(1)，并利用以下時間和幾何邊界條件

(1)時間邊界條件

(16)

(2)幾何邊界條件

(17)

利用變分原理，并結合以上時間和幾何邊界條件，根據獨立變分不為零，同時運用變上限積分的萊布尼茲公式可以推出提升系統的動力學控制方程為

x2=lv2

(18)

其中，

(19)

1.2 邊界激勵下提升系統的動力學方程

由超深井提升的需要，卷筒必須滿足多繩多層纏繞，其繩槽布置形式采用的是雙折線平行繩槽，其簡圖如圖4所示。其中繩槽間隙為ε，鋼絲繩直徑為d。此繩槽的特點是，鋼絲繩在每經過一個過渡區時，沿卷筒軸向(d+ε)/2的排繩位移，且每次沿卷筒軸向移動(d+ε)/2的距離。對于第二層以及以上的鋼絲繩在過渡區時與底層鋼絲繩交叉相互作用，會造成沿卷筒徑向的抬高位移。同時，在卷筒轉過相同角度下，鋼絲繩經過過渡區與經過平行區相比，會產生一定的弧長差，因此會對鋼絲繩沿軸向，即沿卷筒切向會產生一個位移激勵。

圖4 雙折線平行繩槽Fig.4 Groove of lebus

基于雙折線平行繩槽的結構特點，在提升過程中沿卷筒三個方向的激勵都是周期性的，因此可以建立周期性的邊界激勵函數來代替原有的邊界條件。如圖5所示，根據鋼絲繩在經過過渡區時，沿卷筒軸向排繩的最大位移和徑向抬高的最大位移，可以推導出沿鋼絲繩的軸向的位移最大激勵幅值。

因此沿卷筒徑向、軸向和切向的最大位移激勵幅值可以表達為

(20)

(21)

(22)

式中：Rd為卷筒的半徑；ψ為過渡區對應的圓心角；n為鋼絲繩纏繞層數；d為鋼絲繩的直徑。

以下使用三角函數來模擬沿鋼絲繩軸向的周期邊界激勵函數，具體表達式為

(23)

式中：tψ為提升過程中經過過渡區的時間tψ=ψRd/V；V為提升速度；te為提升過程中連續經過一個直線區和一個過渡區的總時間；te=πRd/V，α=πV/ψRd。

圖5 平行區和過渡區鋼絲繩堆疊簡圖Fig.5 Stacking of wire rope in parallel and crossover zone

對式(12)中懸繩的應變公式進行變換，并考慮鋼絲繩天輪處的力邊界條件EA[εci-ui,xi(Ls,t)]=0，可以推導出

(24)

式(24)為垂繩的力邊界條件，其中K=EA/Ls，通過天輪與垂繩相互作用，可以推導出垂繩段在邊界激勵下的動力學方程為

(25)

式中：

(26)

ρr=ρ+Msδ(xi-Ls),i=1,2

(27)

2 方程離散化

本文鋼絲繩的力學模型采用的是分布式參數連續體，其推導出的動力學方程組為無限自由度的偏微分方程組，且方程系數是時變的，因此難以求解出其精確解。以下使用Galerkin方法將其離散化為常微分方程組，并通過MATLAB編程進行數值近似求解。

2.1 形函數求解

對于垂繩段鋼絲繩，其縱向振動可以參考桿的縱向振動[13]，因此鋼絲繩的自由振動方程可以假設為

(28)

對于以上二階偏微分方程具有以下形式的通解

ui(xi,t)=ψ(x)ejωt

(29)

且ψ(xi),ω滿足如下特征方程

(30)

式中：E為鋼絲繩的彈性模量；A為鋼絲繩的有效截面積；ψ(xi)為振型函數；ω為振動頻率；C1，C2為待定系數，且有β=ω2ρ/EA。

由鋼絲繩在天輪處和容器處的力邊界條件

(31)

將其代入式(30)，可以推導出提升系統頻率的超越方程為

(K-Msω2){Mω2sin(βlvi)-EAβcos(βlvi)+

EAβ[Mω2cos(βlvi)+EAβsin(βlvi)]}=0,i=1,2

(32)

和垂繩段振型函數為

(33)

2.2 離散偏微分方程組

將兩鋼絲繩的振動位移u1,u2改寫為向量形式

(34)

式中：ψ=(ψ1,ψ2,…,ψn)T為振型函數組成的列向量;p=(p1,p2,…,pn)T,q=(q1,q2,…，qn)T為廣義模態坐標組成的列向量，n為所取的振型階數。

將式(34)代入有邊界激勵的鋼絲繩動力學控制方程組式(25)，并同時在左邊乘以一個列向量ψ，同時在(0,lvi)范圍后對xi進行積分，既可以將原來無限自由度的偏微分方程組離散化成常微分方程組

(35)

式中：M1,M2為廣義模態坐標所對應的時變質量矩陣;C1,C2為對應的時變阻尼矩陣;K1,K2為對應的時變剛度矩陣;F1,F2為對應的廣義力矩陣；m3,m4,m5和m6為容器處廣義模態坐標所對應的時變質量矩陣;c3,c4,c5和c6為對應的時變阻尼矩陣;k3,k4,k5和k6為對應的時變剛度矩陣。

3 數值計算及結果分析

本文以某大型超深礦井多層纏繞提升系統為例，分析了當兩纏繩區由于圈間過渡激勵不同步時，兩纏繩區過渡不同步時形成的圓心角大小與兩鋼絲繩張力差值的大小關系，同時分析了在不同提升速度下，張力差的變化情況。提升系統的具體參數見表1。

表1 超深井提升系統參數Tab.1 Parameters of the deep mine hoisting system

在實際的礦井提升過程中，提升系統會經歷慢加速、加速、勻速、慢減速、減速和停車等階段，為了簡化模擬運行曲線的函數，僅采用三階段的運行曲線圖，如圖6所示。

超深井提升具有高速、重載、大慣量的特點，在提升過程中兩鋼絲繩在圈間過渡時經過折線區可能不同步而形成一定的圓心角差β，如圖7所示。

圖6 三階段提升速度圖Fig.6 Diagram of three-stage hoisting speed

圖7 左右纏繩區過渡不同步Fig.7 Non-synchronous transition between two crossover zones

過渡區圓心角大小一般取15d/Rd[15]，由表1參數計算可知，過渡區圓心角α可取為0.285 rad。以下分別以兩繩區過渡圓心角差值β為0.01 rad,0.02 rad,0.025 rad,0.03 rad,0.035 rad,0.04 rad,0.045 rad時來分析提升系統的動張力差。

對式(35)進行數值求解，可得到在不同提升速度下隨時間變化的廣義模態坐標[16-17]，并根據式(34)可以得到相應的振動位移[18]。由于垂繩段靠近天輪處的點所受張力最大，以下取垂繩段上天輪處的點來進行動張力計算，根據黏彈性力學，其計算公式為

(36)

根據式(36)可以計算出兩鋼絲繩在提升過程中的動張力變化曲線[19]，進而可以得到提升過程中兩繩張力差隨時間變化的曲線。其中β=0.01 rad時鋼絲繩張力、張力差及動張力見圖8、圖9，其余值詳見表1。

圖8 β=0.01 rad,V=18 m/s時垂繩段兩鋼絲繩在天輪處的處張力及張力差Fig.8 Vertical cable tension and tension difference at the sheave,when β=0.01 rad,V=18 m/s

圖9 β=0.01 rad,V=18 m/s時垂繩段兩鋼絲繩在天輪的動張力Fig.9 Vertical cable dynamic tension difference at the sheave,when β=0.01 rad,V=18 m/s

圖10 不同速度激勵頻率及垂繩固有頻率Fig.10 Different speed excitation frequency and vertical rope natural frequency

由圖8可知，兩鋼絲繩的張力隨著提升時間的增加，鋼絲繩的張力是逐漸減小的[20-21]，原因是隨著提升高度變化，垂繩段的鋼絲繩質量不斷減小；同時由于提升過程中由于縱向振動而產生的動張力，鋼絲繩總張力曲線是一條沿右向下傾斜的振動曲線；其中兩鋼絲繩的最大張力差是出現在提升時間段為t=80～100 s。由圖10可知，當提升速度為V=13～20 m/s時激勵頻率與垂繩二階、三階固有頻率都存在交點，在此提升速度范圍內都會有垂繩發生共振，由于鋼絲繩內阻尼的作用，振幅快速衰減。由激勵頻率Ω=2V/Rd，當V=18 m/s時，圈間過渡的激勵頻率與垂繩固有頻率存在一個交點，結合圖9，圖10可知，在此時刻附近由于圈間過渡激勵頻率與垂繩固有頻率接近而產生了共振；同時本文中張力差主要是由于兩鋼絲繩振動相位不一致而產生的，振動相位不一致主要來自圈間過渡激勵不同步而形成的，即與兩繩在圈間過渡形成的圓心角差相關，如圖7所示。在未發生共振時，圈間激勵引起的垂繩振動較小，因而由于振動相位不一致形成的張力差較小，而共振階段振幅較大，從而導致V=18 m/s時鋼絲繩最大張力差出現在共振區域，對于其他提升速度也是僅有圈間過渡不同步而造成振動相位不一致而形成張力差。綜上所述，由于振動造成兩繩的張力差大小主要由兩個因素共同決定：①兩鋼絲繩振動相位差是多少，即激勵函數的相位差是多少；②兩鋼絲繩振動幅值的大小。

表2 v=18 m/s時不同β值下鋼絲繩最大張力差Tab.2 Maximum tension difference of different β at v=18 m/s

由表2可知，當V=18 m/s時，一定范圍內β越大張力差越大，其中β≤0.03 rad時張力差不超過初始平均張力的10%。對于其他提升速度最大張力差也應發生在共振階段，為了進一步限制過渡圓心角差值，需要計算出7種圓心角差值在其他幾種提升速度下的兩鋼絲繩最大張力差值的百分比，結果如圖11所示。

由圖11可知，在同一提升速度下，一定范圍內β值越大，兩鋼絲繩由于振動相位不一致而形成的張力差也越大；激勵頻率(Ω=2V/Rd)與提升速度有關，當β值一定時，不同提升速度下鋼絲繩動張力共振最大幅值不相同，如圖12所示，因而形成的最大張力差值也不相同，在提升速度V=15～17 m/s時的值較大。

圖12 不同提升速度下共振區最大動張力Fig.12 The maximum dynamic tension of resonance zone at different hoisting speed

為了滿足安全運行的要求，需要保證兩纏繩區圈間過渡不同步時形成的β值在各種提升速度下，鋼絲繩張力差最大值均不超過初始平均張力的10%，兩繩區圈間過渡時形成的圓心差需滿足β≤0.02 rad。

4 結 論

(1)本文針對雙繩多層纏繞式提升系統，考慮了變長度提升鋼絲繩的質量、剛度時變特性以及雙折線平行繩槽所產生的定常擾動，運用變分原理和Hamilton原理建立了雙繩變長度提升系統的縱向振動微分方程。

(2)張力差值大小是由圈間過渡形成的圓心角差值和共振幅值共同決定的，同一速度下，圓心角差值越大張力差越大；同一圓心角差值下，提升速度V=15～17 m/s時張力差較其他提升速度更大。

(3)兩繩的最大動張力差值是出現在提升過程中的共振區域，為保證各種提升速度下張力差均不超過10%，需滿足圈間過渡差值β不能超過0.02 rad。

(4)以本文方法得到的雙繩提升系統動力學模型，未將容器在提升過程中所受到的空氣阻尼考慮在內，因此得到的結果存在一定的誤差，但此模型對進一步研究更復雜多繩提升系統動力學模型提供了一定的基礎。

附 錄